Números Reales

1 NUMEROS REALES

1.1 Clasificación de los números reales. [4] [3] [1]

Numeros naturales: 1, 2, 3, 4,…

Números enteros: …,-4, -3, -2, -1, 0 1, 2, 3, 4, …

Números racionales: Tienen la forma P/Q donde P y Q son números enteros y Q ≠ 0. Todos los números enteros son racionales. Ejemplo: 2/3, 0/9, 6/2, -5/2, etc.

Numeros Irracionales: son los números que no se pueden escribir de laforma P/Q, por ejemplo: 1 + √2, √3, π, cos 19°, etc

Los números racionales se distinguen de los irracionales porque los primeros siempre tienen decimales repetidos. Ejemplo: ½ = 0.50000…, 8/25 = 0.32000…, 12/4 = 3.0000…, 4/3 = 1.33333…, 3/11 = 0.272727…, 5/7 = 0.714285714285714285…
Π = 3.14159265358979323846

Números Reales: son el conjunto de los racionales e irracionales.

1.2 Propiedades.[3][1]

De la suma:
1.- a + b = b + a Ley conmutativa de la suma
2.- a + (b + c ) = (a + b ) + c Ley asociativa de la suma
3.- a + 0 = a Ley neutro de la suma
4.- a + (-a) = 0 Ley del inverso de la suma
De la multiplicación
5.- ab = ba Ley conmutativa de la multiplicación
6.- a (bc) = (ab) c Ley asociativa de la multiplicación
7.- a · 1 = a Ley neutro de lamultiplicación
8.- a (1/a) = 1 a ≠ 0 Ley del inverso de la multiplicación
9.- a (b + c) = ab + ac Ley distributiva de la multiplicación respecto de la suma
De los números negativos
10.- -(- a) = a
11.- (-a)b = -(ab) = a(-b)
12.- (-a)(-b)=ab
13.- (-1) a = - a
Que implican el cero
14.- a · 0 = 0
15.- Si ab = 0 entonces a = 0, o b = 0 o ambos
0/a = 0
De los cocientes
16.- a/b = c/d si ad = bc (b, d≠ 0)
17.- ca / cb = a /b (b,c ≠ 0)
18.- a / (-b) = (-a)/b = -(a/b) (b ≠0)
19.- a/b · c/d = ac / bd (b, d ≠0)
20.- (a/b) / (c/d) = ad / bc (b, c, d ≠ 0)
21.- a/b ± c/d = ad ± bc / bd (b, d = 0)

Que implican el ∞

22.- ∞/a = ∞
23.- a / ∞ = 0
24.- ∞ · a = ∞
25.- a / 0 = ∞
26.- ∞ + ∞ = ∞
27.- -∞ - ∞ = -∞

1.3 Interpretación geométrica de los números reales.[4][3][1]

Lainterpretación de un número real se hace a través del eje real. El eje real es una línea horizontal con flechas a puntando hacia fuera en cada extremo indicando los valores infinito negativo (izquierda) e infinito positivo (derecha). En el centro de la línea se ubica el cero y a la izquierda del cero se ubican todos los números negativos, y a la derecha todos los números positivos. Ejemplo: Ubicar el-3, -1.75, -1/2, √2, π, 4.

Así como se pueden ubicar números reales sobre la recta real, también se pueden ubicar conjuntos de números. Un conjunto de números debe especificar el menor y el mayor número. Por ejemplo:

[a, b] = {x: a ≤ x ≤ b} (intervalo cerrado) (graficar)
(a, b) = {x: a < x < b}(intervalo abierto) (graficar)
(a, b] = {x: a < x ≤ b}( intervalo semiabierto ) (graficar)
[a, b)= {x: a ≤ x < b} ( intervalo semiabierto ) (graficar)
[a, ∞) = {x:x ≥ a}(graficar)
(a, ∞) = {x:x > a}(graficar)
(-∞, b) = {x:x < b}(graficar)
(-∞, b] = {x:x ≤ b}(graficar)

Ejercicio: representar en la recta real los siguientes conjuntos y escribir en su otra notación:
a) [3, 5)
b) [–π, 100]
c) (2/5, 4/3)
d) (-3, ∞)
e) [5, ∞)
f) (-∞, -3]

Además se pueden haceroperaciones como la unión (U) y/o la intersección (∩) de dos conjuntos de números.

Ejemplo: Escriba de otra manera y represente en el eje real las siguientes operaciones
a) [-4,1) U (3,6)
b) (-3,2] U (1,7]
c) (-4,3] ∩ (2,6)

1.4 Desigualdades lineales y cuadráticas y sus propiedades.[4] [3]

Sean a y b dos números reales, solo se tienen 3 comparativas:
1.- a es menor que b2.- a es mayor que b
3.- a es igual a b

Donde: a < b significa que b – a es positivo y a ≤ b significa que a < b o a = b.

Por lo tanto:
Sean a, b, c y d números reales:
- si a < b y b < c, entonces a < c
- si a < b, entonces a + c < b + c y a – c < b – c
- si a < b, entonces ac < bd cuando c es positivo y ac > bc cuando c es negativo
- si a < b y c < d,...