Números Reales

Cálculo Diferencial
Números
CONJUNTOS
* Es fundamental en matemáticas el concepto de conjunto, clase o colección de objetos que tienen características específicas
* El conjunto de todos los profesores de la universidad
* El conjunto de las letras A, B, . . . , Z del alfabeto, etc.
* Los elementos del conjunto se llaman elementos
* Toda parte de un conjunto se denominasubconjunto del conjunto dado
* A, B, C que es un subconjunto de A, B, C, D, . . . , Z
* El conjunto que carece de elementos se llama conjunto vacío.
NUMEROS REALES
Números naturales, 1, 2, 3, 4, ... , o enteros positivos
* Se emplean para contar los elementos de un conjunto
* Los símbolos han cambiado con las épocas, pues los romanos, por ejemplo, utilizaban I, II, III, IV,....
* La suma a + b y el producto a b o ab de dos números naturales a y b es también un número natural
* El conjunto de números naturales es cerrado respecto a las operaciones de adición y multiplicación
* Cumple la propiedad de clausura con respecto a estas operaciones
Enteros negativos y cero
* Denotados por — 1, — 2, — 3, . . . y 0, respectivamente
* Si a y bnaturales
* Permiten resolver ecuaciones como x + b = a
* La operación sustracción o inversa de la adición:
x = a - b.
* El conjunto de los enteros positivos y negativos con el cero se llama conjunto de los enteros.
Números racionales o fracciones
* Expresados como ab , -ab , donde a Λ b ∈
* Permiten resolver ecuaciones como bx = a Λ b 0
* Permiten la operación dedivisión o inversa de la multiplicación
* x=ab o a ÷ b donde a es el numerador y b el denominador.
* El conjunto de los enteros es un subconjunto de los números racionales, pues los enteros corresponden a números racionales con b = 1.
Números irracionales
* Son números no racionales
* No se pueden expresar como ab (llamado cociente de a y b)
* Tales como 2, e y π
* Elconjunto de todos los números racionales e irracionales se llama conjunto de los números reales.
REPRESENTACION DECIMAL DE LOS NUMEROS REALES
* Todo número real se puede expresar en forma decimal
* 17/10 = 1,700 0 | * 9/100 = 0,090 0 |
* 1/6 = 0,166 66 | * 73 = 1,527 5 |
* 3π2= 2,145 0 | * lncosπ3 = - 0,693 1 |
* Cuando hay una cifra o grupo de cifras del desarrolloque se repiten, se denomina número periódico
* 17 = - 0,142 857 142 857 142
* El período es 142 857
* Cuando el número es irracional, no se presenta repetición semejante
* e = 2,718 3 | * π = 3.141 6 |
* πe = 1,155 7 | * π e = 8,539 7 |
* El sistema decimal utiliza las diez cifras 0, 1, 2, . . ., 9
* Se pueden emplear sistemas de numeración con menos omás cifras
* El sistema binario que sólo emplea las cifras 0 y 1
* El sistema hexadecimal que además de las cifras decimales emplea A, B, C D, E y F
REPRESENTACION GEOMETRICA DE NUMEROS REALES
Es conocida la representación de los números reales sobre una recta llamada eje real, como se ve en la figura. A cada número real corresponde un punto, y solo uno, de la recta y recíprocamente;es decir, existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales y el de puntos de la recta, por lo cual los conceptos de punto y de número se podrán emplear uno por otro.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-43
π
e
2
-π
-e-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-43
π
e
2
-π
-e

Fig. 1-1
El conjunto de números reales a la derecha del 0 es el llamado conjunto de los números positivos; el conjunto a la izquierda del 0 es el conjunto de los números negativos, en...