Números Reales

Cálculo diferencial
Unidad I
Ensayo: Números Reales

Introducción:

El cálculo, como muchas cosas, nace de la necesidad de saber la solución a ciertos problemas, como por ejemplo calcular el área de una superficie, el volumen de un sólido, determinar una ecuación tangente a una curva en un punto, etc. Y según se considera el cálculo tuvo sus inicios en el siglo XVII gracias a lasinvestigaciones y el trabajos realizados por Isaac Newton (1642-1727) y por Gottfried Leibniz (1646-1711) incluso aunque los principios básicos del cálculo se descubrieran desde la época de Arquímedes y que de forma independiente en China y Japón se lograran esos mismos descubrimientos.

Pero, ¿qué es el cálculo? Bueno, a lo que nosotros llamaremos cálculo en realidad es conocido en si como cálculoinfinitesimal, tiene grandes aplicaciones en muchas ramas de la ciencia y la ingeniería ya que es usado resolver problemas que el álgebra convencional no podía resolver; aunque tiene su base en álgebra, trigonometría y geometría analítica. Estudia los límites, derivadas, integrales y series infinitas y para esto suele ser dividido principalmente en 2 campos: Cálculo diferencial y Cálculo Integral.El cálculo diferencial investiga las propiedades de las razones de cambio comparativas de variables que están vinculadas por medio de ecuaciones, el objetivo principal de estudio del cálculo diferencial es la derivada, y el objetivo principal es comprender qué son estas razones y cómo escribir ecuaciones diferenciales. El cálculo integral proporciona métodos para recuperar variables originalesconociendo las razones de cambio, es aprender a resolver las ecuaciones dadas por el cálculo diferencial (se dice que es lo inverso al cálculo diferencial).

Números reales y propiedades de los números.
Antes de todo esto, para comprender y poder iniciar y saber más del cálculo diferencial o integral, debemos conocer las propiedades y axiomas de los números reales, ya que todo cálculo sesustenta en ellos, y, para iniciar con el estudio de los números reales hay que conocer el más básico de los sistemas numéricos: Los números naturales.

Se conoce como números natural al conjunto de números que van desde el 1 hasta infinito, se denotan con un N y se definen como:

N={1,2,3,4,5,6,7,8,9… ∞}

Y tenemos diferentes propiedades para este conjunto:

“El número 1 es el número máspequeño” 1< n para todo n ∈ N
“Si k ∈ N, el sucesor de k se define como k+1 y k+1 ∈ N”
“Si k ∈ N y k ≠1 el antecesor se definirá como k-1 y k+1 ∈ N”

Como operaciones básicas del conjunto de los números naturales son: suma y multiplicación solamente; y tenemos que la suma debe cumplir con las siguientes leyes:


Ley de la cerradura: “Si a,b ∈ N entonces a+b=c y por lo tanto c ∈N.”
Ley deunidad: “La suma de números naturales no cambia, si a,b ∈ N entonces a+b=c y c es único”.
Ley asociativa: “Si tenemos a,b,c ∈N entonces (a+b)+c=a+(b+c).”
Ley conmutativa: “Si a,b ∈N entonces a+b=b+a.”

Y a su vez, la multiplicación cumple con todas estas leyes, pero además tiene otras 2 leyes propias de ella:

Idéntico de la multiplicación: “Si a∈N entonces a×1=a”
Propiedad distributiva:“Si a,b,c∈N entonces (a+b)×c=a×c+b×c”

Sin embargo todas estas propiedades no son suficientes para describir ciertos fenómenos físicos, como los serían las temperaturas bajo cero o altitudes debajo del mar, así que se vio en la necesidad de tener un conjunto de números más amplio, un conjunto donde conocemos el 0 además de los números negativos, este conjunto es conocido como el conjunto de losnúmero enteros.

El conjunto de los números enteros se define con el símbolo E y son

E={-∞… ,-2,-1,0,1,2,… ∞}

En este conjunto con la existencia de los números negativos, se añade a la resta como operación que puede realizarse, la resta se define como la operación de sumar un inverso aditivo (número negativo) de otro, o sea, x-y=x+(-y). Los números son simétricos, todo número positivo...