Números Reales

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Números reales
En esta sección vamos a estudiar primero los distintos conjuntos de números que se definen en
matemáticas. Después, al conocerlos mejor, podremos resolver distintos problemas aritméticos.
Para simplificar el estudio de los números, los matemáticos los han clasificado de la siguiente
manera:
Números naturales
Son los números que utilizamos para contar.El conjunto de los números naturales se denota por N.

Definición
1

N = {1, 2, 3, 4, 5, · · · }
Nótese que el cero no es un número natural, porque cuando alguien no posee nada, no tiene
necesidad de contar.
En el lenguaje matemático, escribimos: 1 ∈ N para indicar que el número 1 está dentro del
conjunto de los números naturales, es decir, el número 1 es un elemento de ese conjunto.
El símbolo: ∈se lee: «...es un elemento del conjunto...»
Para indicar que un número dado NO es un numero natural escribimos, por ejemplo: π ∈
/ N.
Esto nos está diciendo en palabras: «El número π NO es un número natural».
De manera semejante, el símbolo ∈
/ se lee: «...no es un elemento del conjunto...»
Es una buena idea notar que cuando sumamos dos números naturales, el resultado es otro
número natural.Nunca obtendremos un número con decimales.
Números enteros
Es el conjunto formado por todos los números naturales, el cero y los números naturales dotados del signo
negativo. El conjunto de los números enteros se denota por Z.

Comentario

Definición
2

Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }
Es importante notar que todos los números naturales son también números enteros, pero no todos
losnúmeros enteros son números naturales.
Por ejemplo, el número −5 es un número entero que no es un número natural.
De nuevo, cuando sumamos dos números enteros, el resultado es otro número entero.

Comentario

Números racionales
Es el conjunto formado por todos los números que pueden expresarse como el cociente de dos números
enteros, siendo el denominador distinto de cero. El conjunto de los númerosracionales se denota por Q.
Q=

x|x =

p
; p, q ∈ Z, q = 0
q

Algunos ejemplos de números racionales son los siguientes:
1
2

−

3
7

21
22

7
2

1
10

Pero no todas las fracciones se consideran números racionales. Para que un número sea considerado número racional, se requiere que tanto en el numerador como en el denominador tengamos
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Definición
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un número entero, aunque sea negativo.
Por ejemplo, los siguientes números no son racionales, a pesar de que son fracciones:
1
√
2

√
1− 5
2

10
0

π
4

La palabra «fracción» viene del
latín:
frangere
que
significa
romper, o fractio
acto de romper.

Otra cosa importante consiste en que en el denominador no aparezca el cero. ¿Por qué?
Ya debes saber que no es posible dividir porcero.
Por ejemplo, cuando queremos dividir 10 entre cero, no podemos encontrar una solución.
Cuando dividimos cero entre diez, sí podemos encontrar una solución. Piensa en términos de
manzanas: «si tengo cero manzanas y las voy a repartir entre diez niños, ¿cuántas manzanas les daré a
cada niño?» La respuesta es obvia, como tengo cero manzanas, a cada niño le corresponden cero
manzanas.
Pero el otrocaso: «si tengo diez manzanas y las voy a repartir entre cero niños, ¿cuántas manzanas les
daré a cada niño?», tenemos un problema: ¿cómo vamos a repartir las manzanas, si para empezar,
tenemos cero niños?
Observa que cuando dividimos 10 entre 2, buscamos un número que multiplicado por 2, nos dé
como resultado 5.
Cuando dividimos diez entre cero, tenemos que encontrar un número que multiplicado porcero
nos dé como resultado diez. Pero ya sabemos que cualquier número multiplicado por cero es
igual a cero. Esto significa que no podemos encontrar algún número que multiplicado por cero
dé diez. Por eso no podemos realizar la división.
Otro caso aparte es la división cero entre cero. Si buscamos un número que multiplicado por cero
nos dé como resultado cero, vemos que no hay solamente una...