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LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

REFLEXIONA Y RESUELVE Aproximaciones sucesivas
■

Comprueba que: f (4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995

■ ■

Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999); …

A la vista de los resultados anteriores, ¿te parece razonable afirmar que, cuando x se aproxima a 5, el valor de f (x) se aproxima a 7? Lo expresamos así:lím f (x) = 7
x85

Si f (x) =

x 2 + 4x – 45 , entonces: 2x – 10

f (4,999) = 6,9995; f (4,9999) = 6,99995; f (4,99999) = 6,999995
x85

lím f (x) = 7

■

x 2 + 6x – 27 Calcula, análogamente, lím . 2x – 6 x83 f (2) = 5,5; f (2,9) = 5,95; f (2,99) = 5,995; f (2,999) = 5,9995; f (2,9999) = 5,99995
x83

lím f (x) = 6

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1. Cada una de las siguientes funciones tiene uno omás puntos donde no es continua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta: a) y = x+2 x–3
2 b) y = x – 3x x 2 c) y = x – 3 x

° 3 si x ? 4 d) y = ¢ £ 1 si x = 4

a) Rama infinita en x = 3 (asíntota vertical). b) Discontinuidad evitable en x = 0 (le falta ese punto). c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical). d) Salto en x = 4.
Unidad 6. Límites de funciones.Continuidad y ramas infinitas

1

2. Explica por qué son continuas las siguientes funciones y determina el intervalo en el que están definidas: a) y = x 2 – 5 ° 3x – 4, x < 3 c) y = ¢ £ x + 2, x Ó 3 a) Está definida y es continua en todo Á. b) Está definida y es continua en (–@, 5]. Las funciones dadas mediante una expresión analítica sencilla (las que conocemos) son continuas donde estándefinidas. c) Está definida en todo Á. Es continua, también, en todo Á. El único punto en que se duda es el 3: las dos ramas toman el mismo valor para x = 3: 3·3–4=9–4=5 3+2=5 b) y = √ 5 – x ° x, 0 Ì x < 2 d) y = ¢ £ 2, 2 Ì x < 5

Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (3, 5). La función es también continua en x = 3. d) También las dos ramas empalman en el punto (2, 2). Por tanto, la funciónes continua en el intervalo en el que está definida: [0, 5).

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1. Calcula el valor de los siguientes límites: 3 a) lím b) lím (cos x – 1) x–2 x80 x80 a) – 3 2 b) 0

2. Calcula estos límites: a) lím √ x 2 – 3x + 5
x82

b) lím log10 x
x 8 0,1

a) √ 3

b) –1

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3. Calcula k para que la función y = f (x) sea continua en Á: ° x 3 – 2x + k, x ? 3 f (x) = ¢ x=3 £ 7, lím(x 3 – 2x + k) = 21 + k ° § ¢ § £ f (3) = 7
x83

21 + k = 7 8 k = –14

2

Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

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4. Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos que se indican. Donde convenga, especifica el valor del límite a la izquierda y a la derecha del punto. Representa gráficamente los resultados: a) f (x) = x3 en–2, 0 y 2 x2 – 4 x 2 – 2x + 1 en 1 y –3 x 2 + 2x – 3 x3 (x + 2) (x – 2) f (x) = –@ f (x) = +@ b) f (x) = 4x – 12 en 2, 0 y 3 (x – 2)2 d) f (x) = x3 x4 en 0 y –3 + 3x 2

c) f (x) =

a) f (x) = lím lím

x 8 –2–
+

x 8 –2

x80

lím f (x) = 0 lím f (x) = –@

x 8 2–

x82

lím + f (x) = +@

b) f (x) = 4 (x – 3) (x – 2)2
x82

lím f (x) = –@ lím f (x) = –3 lím f (x) = 0 (x – 1)2 (x –1) (x + 3)
2 3

x80

x83

c) f (x) =

x81

lím f (x) = 0 lím f (x) = +@ f (x) = –@

x 8 –3–

x8

lím

–3+

Unidad 6. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

° § ¢ § £ ° § ¢ § £ ° § ¢ § £

No existe

x 8 –2

lím

f (x).
–2 2 3

No existe lím f (x).
x82

–3

No existe

x 8 –3

lím

f (x).

–3

1

3

d) f (x) =

x4 x 2 (x + 3)

x80lím f (x) = 0 lím lím f (x) = –@ f (x) = +@
–3

x 8 –3

–

x 8 –3+

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1. Di el límite cuando x 8 + @ de las siguientes funciones dadas por sus gráficas:

x 8 +@ x 8 +@

lím lím

f1 (x) = –@ f3 (x) = +@

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1. Di el valor del límite cuando x 8 + @ de las siguientes funciones: a) f (x) = –x 2 + 3x + 5 c) f (x) = x – 3x 4 e) f (x) = – a) –@ d) 0 1 x2 b) +@...