Olimpiadas

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13 de mayo del 2008, Primer Examen de Algebra Prof: C. Valqui, Maestr´ de Matem´ticas, PUCP ıa a CONTESTE SOBRE 20 PUNTOS NOMBRE: 1. (3 pt) Determine que axiomas de anillo secumplen en (Z, ⊕, ) con a⊕b = a+b+1 . a b = 2a + 2b + 2ab + 1 2. (4 pt) Hallar el M.C.D.(36+21i,36-21i) y el M.C.D.(26+14i,15+35i). √ √ 3. (2 pt)Sea Z[i 7] = {a+ib 7 | a, b ∈ Z}con la suma y la multiplicaci´n o usuales en C. √ (a) Hallar los elementos invertibles en Z[i 7]. √ (b) Demostrar que Z[i 7] no es un dominio de factorizaci´n unica. o ´ 4. (2 pt)Analizar la irreducibilidad de los siguientes polinomios en Z y en Z[i]: (a) 2x4 + 3x3 + 12x2 + 6x + 6 (b) x3 + 2x2 + 3x + 1 5. (3 pt) Sea A un anillo y I un ideal en A. (a)Demuestre que I es primo en A si y solamente si el anillo cociente A/I es un dominio. (b) Demuestre que I es maximal en A si y solamente si A/I es un cuerpo. (c) Demuestre que todoideal maximal es primo. 6. (1p) Determinar si los siguientes dos polinomios poseen un factor com´n no constante en el dominio indicado. u (a) f (x) = x3 + 2x2 + x + 2, g(x) = x2 +1 en Z[x]. √ √ √ (b) f (x) = x2 + ( 2 − 3)x − 6, g(x) = x2 − 2 en R[x]. 7. (1p) Sea D un dominio de factorizaci´n unica y K su cuerpo de fraco ´ ciones. Sea f (x) ∈ D[x] unpolinomio m´nico. Sean g(x), h(x) ∈ K[x] o dos polinomios m´nicos tales que f (x) = g(x)h(x). Demostrar que o g(x), h(x) ∈ D[x]. 8. (2p) Sea p un primo y F =
Z pZ .

Sea f (x) unpolinomio irreducible en
F [x] (f (x))

F [x] de grado n. Demuestre que

es un cuerpo de pn elementos.

9. (1p) Demuestre que f (x) = x2 + x + 1 es irreducible en Z/2Z.10. (4p) Halle las tablas de un cuerpo (K, ⊕, ⊗) de 4 elementos. (Sugerencia: Use las preguntas 8. y 9. y asuma a = x y b = x + 1) ⊕ 0 1 a b 0 1 a b , ⊗ 0 1 a b 0 1 a b

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