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1.-La forma canónica de la ecuación de una elipse de centro y ejes mayor y menor de longitudes y respectivamente, con a>b , es

2.- Observación: de la figura 2, podemos deducir que(tomando), es decir, es la constante a la que se refiere la definición.
Los focos están en el eje mayor a unidades del centro con ,y el eje mayor es horizontal. En el caso de que el eje mayor sea verticalla ecuación toma la forma:

Observación : la demostración de este teorema no es complicada, basta aplicar la definición y la fórmula de distancia (figura 2).

Simplificando

Pero, y asíobtenemos la ecuación canónica de la elipse
La excentricidad es una medida de la "circularidad" de una elipse, entre más cerca de cero más circular y entre más cerca de uno más alargada.
Ejemplo 1Hallar la ecuación canónica de la elipse

Trazar su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad.
Solución
Para hallar la ecuación canónica debemos completar elcuadrado de la expresión en ambas variables e .

De donde obtenemos que el centro es , el valor de ( es la longitud mayor, esto nos dice que la elipse es vertical), el valor de y el valor de está dadopor :

Y así, los focos están dados por y los vértices po . Por último, la excentricidad es

La gráfica se muestra en la figura 4.

Figura 4.
Ejemplo 2
Hallar la ecuación canónica de laelipse con vértices en y eje menor de longitud .

Solución
Como la longitud del eje menor es de unidades, entonces . Como los vértices están en y , entonces el centro está en , el eje mayor de laelipse es vertical y .Con lo cual

Por último, la excentricidad es y la ecuación canónica es

Los focos están en . La gráfica de la elipse se muestra en la figura 5.

Figura 5.
Ejemplo 3Determine la ecuación canónica de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados y que pasa por los puntos .
Solución

Suponga que el centro de la elipse es . Si la elipse tiene eje...