Opeeracion basica entre conjuntos

Operaciones básicas entre conjuntos
Intuitivamente un álgebra es una estructura en donde ciertos objetos de un conjunto base se combinan por medio de distintas operaciones para formar elementos del mismo conjunto base. Tome, por ejemplo, la estructura de los números náturales. El conjunto base es en este caso el conjunto de los números naturales, y hay varias operaciones, como por ejemplo lasuma. Si operamos mediante la suma al y al , obtendremos el número . Estudiar un álgebra significa estudiar las propiedades de las operaciones. Por ejemplo, para el caso anterior, sabemos que una propiedad fundamental de la suma es la conmutatividad: para todos , .
Lo importante del álgebra es que le da estructura a un conjunto. Una cosa es representarse a los naturales como simples elementosaislados entre sí, y otra cosa muy distinta es pensar en ellos como estructura compleja, en donde ellos se combinan entre sí. En el primer caso, el y el son esencialmente lo mismo. En el segundo caso el es más interesante que el , ya que posee una característica especial: para todo , (esto lo expresamos diciendo que es neutro con respecto a la suma).
En general, una operación -aria esuna regla que le asigna a elementos cierto elemento, que llamamos . Los siguientes son algunos ejemplos de operaciones -arias:
1. Sea , para un número natural. es una operación unaria ( ).
2. Sea , para números enteros. es una operación binaria ( ), y por ejemplo, .
En esta sección presentamos un álgebra para los conjuntos, esto es, decribimos ciertas operaciones entre conjuntos yestudiamos sus propiedades.
Definición 8 (Unión) Si y son conjuntos, definimos el conjunto o . Es decir, para todo , .
Definición 9 (Intersección) Si y son conjuntos, definimos el conjunto y . Es decir, para todo , .
Diremos que y son disyuntos si no comparten elementos (es decir, si ).
Ejemplo 10 Sea , y . Tenemos:
1. , y .
2. y .
3. y son conjuntosdisyuntos.
Para antes de seguir leyendo:
1. Si posee cuatro elementos y posee cinco elementos, ¿cuántos elementos como máximo posee ? ¿Y como mínimo?
2. Si posee elementos y posee elementos, ¿cuántos elementos como máximo posee ? ¿Y como mínimo?
3. ¿Existe un conjunto disyunto de sí mismo?
4. Si y son disyuntos y y son disyuntos, ¿puede concluirse que y son disyuntos?
Lassiguientes propiedades básicas de la unión y la intersección son evidentes y descansan en las propiedades lógicas de y de :
Lema 11 Para cualquier par de conjuntos y valen las siguientes propiedades:
1. Idempotencia: ; .
2. Conmutatividad: ; .
3. Asociatividad: ; .
4. ; .
5. ; .
6. si y sólo si ; si y sólo si .
Demostración. [Prueba]
Mostremos, por ejemplo, laprimera parte de la última propiedad (las otras pruebas son semejantes y se dejan al lector).
`` '': Sea . Hay que mostrar . Utilicemos el principio de la doble inclusión: `` '': Si , entonces como todo elemento de es elemento de , necesariamente .
`` '': Si , entonces por propiedad 5.
`` '': Supongamos . Debemos probar . Sea . Entonces , pero por hipótesis este conjunto es ,luego y terminamos.
es una operación binaria. Por esto, una expresión de la forma en principio es ambigüa y debe traducirse a ó . Pero en virtud del lema anterior ambas expresiones denotan el mismo conjunto, y por lo tanto definimos como (o !). Por supuesto la observación anterior también vale si cambiamos por .
Si uno se encuentra con una expresión de la forma , puede transformarlaen o en , según le convenga. A continuación un ejemplo:
Ejemplo 12 Muestre que .
Demostración. [Solución]
, la última igualdad valiendo por asociatividad.
Ahora avanzamos un poco más, y comenzamos a relacionar la unión con la intersección mediante las llamadas leyes de la distribución:
Lema 13 (Distribución) Para , y conjuntos:
1. .
2. .
Demostración. [Prueba] (1):...