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PROBLEMAS DE TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
ENUNCIADO DEL TEOREMA Sea E una región simple sólida cuya superficie frontera S tiene una orientación positiva (hacia afuera). Sea F un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a E. Entonces:

∫∫ F ⋅ dS = ∫∫∫ div F dV
S E

Recordar que otra notación para div F es ∇·FPROBLEMAS RESUELTOS 1.) Evaluar el flujo del campo vectorial F(x;y;z) = xyi +(y2 + e xz )j +sen(xy)k a través de la superficie frontera de la región E acotada por el cilindro parabólico z = 1 - x2 y los planos z = 0, y = 0, y + z = 2. SOLUCIÓN El problema invita a la transformación de la integral de flujo en algún otro tipo de integral para evitar las complejidades que surgirían de parametrizar el segundotérmino de la segunda componente del campo vectorial, y también para hacer una sola integral en vez de cuatro. Para aplicar el teorema de la divergencia calculamos: div F = y + 2y = 3y Evaluaremos la integral de volumen de esta función escalar tomando el dominio como una región de tipo 3; esto es, una región encerrada entre dos funciones de un dominio bidimensional ubicado sobre el plano xz.
z =1 -x2 z
2

(0;0;1)

y=2-z

(0;2;0) x (1;0;0)

y

∫∫ F ⋅ dS = ∫∫∫ div F dV = ∫∫∫ 3 ydV = 3∫
S E E

1

−1 0

∫ ∫

1− x 2

2− z

0

ydydzdx = ··· = 184 s 35

2.) Verificar el teorema de la divergencia para el campo vectorial F = rr y la superficie esférica x2 + y2 + z2 = 9. SOLUCIÓN: El vector r es el vector posición (x; y; z). De modo que en términos de las variablescartesianas el campo vactorial dado puede expresarse como:
F = x 2 + y 2 + z 2 ( x; y; z ) La superficie dada puede parametrizarse a través de coordenadas esféricas:

 x = 3 sen ϕ cos θ 0≤ϕ ≤π   y = 3 sen ϕ sen θ , 0 ≤ θ ≤ 2π  z = 3 cos ϕ 
Con esta parametrización tenemos: i rθ × rϕ = − 3 sen ϕ sen θ 3 cos ϕ cos θ j 3 sen ϕ cos θ 3 cos ϕ sen θ k 0 − 3 sen ϕ =

= (−9 sen 2 ϕ cos θ ;−9sen 2 ϕ sen θ ;−9 sen ϕ cos ϕ )

θ = ϕ = π/2, y para tales valores el PVF calculado da (0;-9;0), o sea una normal interna.
Por lo tanto la normal externa vendrá dada por el PVF calculado haciendo el producto vectorial en el orden opuesto, esto es:

¿Es ésta una normal exterior? Probémoslo con un punto. En (0;3;0) tendríamos

rϕ × rθ = (9 sen 2 ϕ cos θ ;9 sen 2 ϕ sen θ ;9 sen ϕ cos ϕ )Evaluando ahora F en función de esta parametrización es: F(ϕ;θ) = 3(3senϕcosθ; 3senϕsenθ; 3cosϕ) y: F·(rϕ×rθ) = ··· = 81senϕ Así que:

∫∫ F ⋅ dS =∫∫ F(ϕ ;θ ) ⋅ (rϕ ×rθ )dϕdθ = ∫ ∫
0
S D

2π

π

0

81sen πdϕdθ = 81∫

2π

0

[− cos π ]dθ = 324π
2π 0

Hemos hecho un cálculo bastante complejo por integrales de superficie. Veamos ahora cómo reduciendo esto a una integral de volumen conel teorema de la divergencia el cálculo se simplifica notablemente. Calculemos en primer lugar la divergencia: div F = ∂ ∂ ∂ x x2 + y2 + z2 + y x2 + y2 + z2 + x x2 + y2 + z2 ∂x ∂y ∂x

(

) (

) (

)

Calculando las derivadas parciales por separado y sumando miembro a miembro se tiene:

( ∂ (y ∂y ∂ (z ∂z

∂ x x2 + y2 + z2 = x2 + y2 + z2 + ∂x
2 2 2

) x + y + z )= x + y + z )=
2 22 2 2 2

x2 x2 + y2 + z2 y2 x2 + y2 + z2 z2 x2 + y2 + z2 = 4 x2 + y2 + z2

x2 + y2 + z2 + x2 + y2 + z2 + x2 + y2 + z2 x +y +z
2 2 2

div F = 3 x + y + z +

Si ahora llevamos esto a coordenadas esféricas tenemos:
2π

∫∫∫ div FdV = ∫ ∫ ∫ 4 ρ ⋅ ρ
0 0 0

π

3

2

sen ϕ dρdϕdθ = 4 ∫

π

0

∫

2π

0

E

ρ4    sen ϕ dϕd  4 0

3

Haciendo los cálculosobtenemos:

∫∫∫ div FdV = 324π
E

Hemos obtenido el mismo resultado por los dos caminos, verificando así el teorema de la divergencia.s

3.) Calcular el flujo del campo F(x; y; z) =(0; esenxz + tanz; y2) a través del semielipsoide superior 2x2 + 3y2 + z2 = 6, z ≥ 0 con su normal apuntando hacia arriba. SOLUCIÓN
z

Resolveremos este problema por el teorema de la divergencia. Si observamos que...