Operaciones con funciones

Operaciones con funciones: adición, sustracción, multiplicación,
división y composición
Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles
y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. En esta sección definiremos
la composición de funciones estos son importantes en el desarrollo del cálculo. Reconocer una
suma, producto, cociente ocomposición de funciones es útil porque permite descomponer
funciones complicadas en otras más sencillas.
Álgebra de funciones.
En esta sección consideraremos las operaciones con funciones. Las funciones obtenidas a
partir de estas operaciones –llamadas la suma, la diferencia, el producto y la división se
definen como sigue:
Sean f y g dos funciones y supongamos que D y D denotan los dominios de fy g,
f

g

respectivamente. La función f + g está definida por
(f + g )(x) = f(x) +g(x)
El dominio de f + g es D ∩ D
f

g

Ejemplo 1.
Sea f(x) = x y g(x) = x. Entonces (f + g) (x) = x + x. El dominio de f es (−∞,∞) y el dominio de g
es [0, ∞). Así el dominio de f + g es D ∩D = (-∞, ∞) ∩ [0, ∞) = [0, ∞).
f

g

Ejemplo 2.
3

3

Sea f(x) = x – 1 y g(x) = 4x. Si x = 3,entonces f(3) = (3) – 1 = 26 y g(3) = 4(3) = 12. Así, (f + g)
(3) = f(3) + g(3) = 26 – 12 = 14.
Sean f y g dos funciones y supongamos que D y D denotan los dominios de f y g,
f

respectivamente. La función f - g está definida por
(f – g)(x) = f(x) - g(x)
El dominio de f - g es D ∩ D
f

g

g

Ejemplo 3.
Sea f(x) = 1x+ y g(x) = 4x−, entonces f( - g)(x) = f(x) – g(x) = 1x+ - 4x−. El dominiode f es [-1,
∞), y el dominio de g es [4, ∞). El dominio de f – g es D ∩ D = [-1, ∞) ∩ [4, ∞) = [4, ∞).
f

g

Sean f y g dos funciones y D y D denotan los dominios de f y g, respectivamente. La
f

g

función f ⋅ g está definida por
(f ⋅ g)(x) = f(x)⋅ g(x). El dominio de f ⋅ g es D ∩ D
f

g

Ejemplo 4.
Sea f(x) = x – 2 y g(x) = x + 2. Entonces (f⋅g)(x) = f(x) g(x) = ( x + 2 )( x -2) = x2 - 4. El dominio
de f es (−∞, ∞) y el dominio de g es (−∞, ∞). Por tanto el dominio de f ⋅ g es Df ∩ Dg = (−∞, ∞).

Ejemplo 5.
Sea f(x) = | x | y g(x) = 5. Entonces (f ⋅g)(x) = f(x) g(x) = | x |⋅5. El dominio de f es 3 y el dominio
de g es 3. Entonces el dominio de f ⋅ g es Df ∩ Dg = 3. Si x = -2, entonces (f ⋅ g)(-2) = f(-2) ⋅ g(-2)
= |-2|5 = 2⋅5 = 10.
Sean f y g dos funciones y Df, Dg sus dominios respectivamente. Entonces la función f/g
está definida por:
(f/g)(x) = f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0
El dominio de f /g es Df ∩ Dg excluyendo los valores de x para los cuales g(x) = 0.
Ejemplo 6.
Si f(x) = x + 4 y g(x) = x2 – 1. Entonces (f/g) (x) = f(x) / g(x) = x + 4/(x2 – 1). El dominio de f y el
de g son los números reales. La función g(x) = x2 – 1 es cero para x = 1 y x = -1.Por lo tanto el
dominio de f/g es R – {-1, 1}
Ejemplo 7.
Si f(x) = x y g(x) = x−. Encuentre (f/g) (x).
Solución:
El dominio de f es [0, ∞) y el dominio de g es (-∞, 0]. Entonces Df ∩Dg = {0}, pero g(x) = x− es
cero para x = 0. Ahora el dominio de f/g es Df ∩Dg excluyendo los valores para los cuales g(x)
es igual a cero. Por lo tanto el dominio de f/g es el conjunto vacío. De donde se tieneque la
función (f/g)(x) = x / x− no tiene dominio.
Ejemplo 8.
Sea f(x) = 24x− y g(x) = 3x + 1. Encuentre a) la suma, b) la diferencia, c) el producto y d) la
división de f y g.
Solución:
El dominio de f es el intervalo cerrado [-2, 2] y el dominio de g es 3. En consecuencia la
intersección de sus dominios es [-2, 2] y las funciones pedidas están dadas por
a) f(+g) (x) = 24x− + (3x + 1)
b)(f-g) (x) = 24x− - (3x + 1)
c) (f ⋅ g) (x) = (24x−) ⋅ (3x + 1)
d) (f ⋅ g) (x) = 24x− / (3x + 1)
El dominio de (a), (b) y (c) es el intervalo [-2, 2]. En la parte (d) la función g(x) = 3x + 1 es cero
si x = -1/3 y por lo tanto el dominio es {x | -2 ≤ x ≤ 2, x ≠ - 1/3}.
Composición de funciones
Sabemos que la notación “g(a)” significa el valor de la función g(x) cuando x = a; se obtiene al...