optica

Apuntes de Variable Compleja
Dr. Carlos Lizama
Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de Matem´tica y C.C.
a

Introducci´n
o
El presente texto de apuntes de Variable Compleja corresponde al curso del
mismo nombre (hoy C´lculo IV) impartido por el autor a la carrera de Ingenier´
a
ıa
Matem´tica durante varios semestres consecutivos.
a
La presentecorresponde a la versi´n preliminar del texto. Se agradecer´ a
o
a
aquellos estudiantes que puedan contribuir con sus observaciones a fin de concretar la primera versi´n del libro para el segundo semestre del 2008.
o

Santiago, Marzo 2008.

2

´
Indice general
1. Preliminares
1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.2. Propiedades algebraicas . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4
5

2. Funciones de Variable Compleja
2.1. Funciones anal´
ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Algunas funciones de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
12

3. Series
3.1. Series de Taylor . . . . . . . . . . . .
3.2. Representaciones por series de Taylor
3.3. Serie geom´trica . . . . . . . .. . . .
e
3.4. Extensi´n anal´
o
ıtica . . . . . . . . . .
3.5. Prolongaci´n anal´
o
ıtica . . . . . . . .
3.6. Transformaciones conformes . . . . .

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4. Integraci´n
o
4.1. Definici´n y propiedades . . .
o
4.2. Formula de Cauchy . . . . . .
4.3. Teor´ de indice y homotop´
ıa
ıa
4.4. Teoremas fundamentales . . .

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5. Polos y residuos
5.1. Desarrollo en serie de Laurent . .
5.2. Residuos . . . . . . . . . . . . . .
5.3. C´lculo de integrales . . . . . . .
a
5.4. F´rmula de Poisson . . . . . . . .
o
5.5. F´rmula de Jensen . . . . . .. .
o
5.6. Automorfismos del disco unitario

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34
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6. Ejercicios
6.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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54
89

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3

Cap´
ıtulo 1
Preliminares
1.1.

Introducci´n
o

La primera noci´n de un n´mero complejo fue descubierta en conexi´n con reo
u
o
solverecuaciones cuadr´ticas.
a
Consideremos, por ejemplo, la ecuaci´n z 2 + 1. Obviamente, esta no tiene soluo
ciones reales, ya que para cualquier real x, x2 ≥ 0 y x2 + 1 > 0.
√
La idea es escribir, formalmente, z = ± −1; pero no existe n´mero real cuyo
u
cuadrado de −1. Luego, si ecuaci´n tiene una soluci´n, debe ser en un sistema de
o
o
n´meros mayor que el conjunto de los n´meros reales.
u
uEste fue el problema planteado a matem´ticos por alrededor de 700 a˜os: Extena
n
der los reales a un sistema mayor de n´meros en el cual la ecuaci´n z 2 + 1 puede
u
o
tener una soluci´n.
o
C. Gauss (1780-1840) fue el primer matem´tico en usar sistem´ticamente n´meros
a
a
u
complejos. La serie Hipergeom´trica
e
1+

ab
a(a + 1)b(b + 1) 2
x+
x + ...
c
c(c + 1) · 1 · 2

Se...