Optimización

CAPÍTULO

10
Optimización

1

10.1 Problemas de optimización
Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable. Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada como función de otra de lasvariables relacionadas en el problema. En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que éstas generan igualdades entre las variables que permiten la obtención de la función de una variable que se quiere minimizar o maximizar. En este tipo de problemas se debe contestar correctamente las siguientes preguntas: ¿Qué se solicita en el problema? ¿Qué restriccionesaparecen en el problema? La respuesta correcta a la primera pregunta nos lleva a definir la función que deberá ser minimizada o maximizada. La respuesta correcta a la segunda pregunta dará origen a (al menos) una ecuación que será auxiliar para lograr expresar a la función deseada precisamente como una función de una variable. Ejemplo 10.1.1 Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debetener un volumen de 50 cm3 . Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material que va a ser usado. H La siguiente figura representa la caja:
1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

2

Cálculo Diferencial e Integral I

y

y

x x

Volumen de la caja, según la figura: V D x 2 y & V D 50 )

) 50 D x 2 y; esta igualdad relaciona las variables del problema. Deesta ecuación podemos obtener y como función de x o viceversa, despejando la variable elegida. El área de la caja sin tapa: A D x 2 C 4xy : Ésta es la cantidad de material que deseamos que sea mínima; vemos que es una función de dos variables. Despejamos y de la restricción dada, esto es, de la fórmula del volumen: yD 50 : x2

Sustituimos en el área y obtenemos una función de una sola variable:A.x/ D x 2 C 4x Derivando: A 0.x/ D 2x 200x
2

50 x2

D x2 C

200 D x 2 C 200x x

1

:

D 2x

A 00.x/ D 2 C 200 2

2 x3

200 2x 3 200 D I x2 x2 400 D 2 C 3 > 0: x

10.1 Problemas de optimización Calculamos puntos críticos: A 0.x/ D 0 ) 2x 3 200 D 0 ) x 3 D 100 ) x D p 3 100 cm :

3

Es un mínimo absoluto pues A 00.x/ > 0 para cualquier x > 0. El valor correspondiente de laotra variable es yD 50 100 3
2

D

1 1p 1 100 1 1 3 D 100 3 D 100 D x cm : 2 2 2 2 2 100 3

Ejemplo 10.1.2 Un ranchero tiene 300 m de malla para cercar dos corrales rectangulares iguales y contiguos, es decir, que comparten un lado de la cerca. Determinar las dimensiones de los corrales para que el área cercada sea máxima. H La siguiente figura representa los corrales contiguos:

y

yy

x

x

Tenemos que el perímetro y el área de los corrales son, respectivamente: P D 4x C 3y D 300 2x.300 3 Derivando y obteniendo los puntos críticos: A.x/ D A 0.x/ D 200 y como 16 < 0, entonces se trata de un máximo. 3 75 300 150 El área máxima ocurre para x D m &y D D 50 m, que son las dimensiones pedidas. 2 3 A 00.x/ D Ejemplo 10.1.3 Un terreno tiene la forma de un rectángulo con dossemicírculos en los extremos. Si el perímetro del terreno es de 50 m, encontrar las dimensiones del terreno para que tenga el área máxima. 3 Pero como y D 300 3 4x : 4x/ D 200x 8 2 x : 3 & A D 2xy :

16 16 3 200 75 xD0 , x D 200 , x D D es el punto crítico 3 3 16 2

4 H El terreno lo representamos por la siguiente figura:
y

Cálculo Diferencial e Integral I

2x x

El área del terreno esEl perímetro, P D 50 m, está dado por P D 2y C 2 x, por lo que 2y C 2 x D 50 ) y D 50 2 x D 25 2 x: A D 2xy C x 2 :

Su punto crítico se obtiene cuando A 0 .x/ D 0. Esto es: A 0.x/ D 50x Como A 00.x/ D 2 x2
0

Si sustituimos este valor en la fórmula del área, la tendremos expresada como función de una variable x: A.x/ D 2x.25 x/ C x 2 D 50x C x 2 . 2 / D 50x x2 : 25 50 D : 2 25 D 0, es...