optimizacion matematica
Páginas: 7 (1589 palabras)
Publicado: 27 de septiembre de 2015
Sobre 80 puntos
´ lica Boliviana
Universidad Cato
´ n y la Competitividad
Escuela de la Produccio
Ingenier´ıa Financiera
La Paz - Bolivia.
Coloque el inicial de su
apellido paterno
✲
Docente: Dr. Mario Errol Chavez Gordillo PhD.
❄
❄
✲
´ n Matema
´tica
Segundo Examen de Optimizacio
Lunes 01 de Junio de 2015
Apellidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.I. . . . . . . . . . . . . . . .Firma . . . . . . . . . . . . . . .Carrera . . . . . . . . . . . . . . ......................
① (10 puntos). Encuentre las dimensiones de la cubeta que aparece en la figura de abajo
de tal manera que se minimice el material empleado y se cumplan las dos restricciones:
a) cada uno de los espacios debe tener unasecci´
on horizontal cuadrada.
b) el volumen total (sin tener en cuenta las particiones) debe ser igual a 12 pulgadas
c´
ubicas.
´
SOLUCION.El problema se plantea de la siguiente manera:
Minimizar Z = 3xz + xy + 6yz
x y
−
= 0
5 2
Sujeto a
xyz − 12 = 0
x
y
− , g2 (x, y, z) = xyz − 12.
5
2
Entonces la funci´on de Lagrange L(x, y, z) se define como sigue
en donde f (x, y, z) = 3xz + xy + 6yz, g1(x, y, z) =
L(x, y, z, λ1 , λ2 ) = 3xz + xy + 6yz − λ1
x y
−
− λ2 (xyz − 12)
5 2
Los c´alculos que siguen fueron hechos con el Paquete Mathematica vea el archivo
“2015,06,01 SegundoParcial.nb”. Las derivadas parciales respecto de las variables de
decisi´
on y de los multiplicadores de Lagrange son:
1
βτ αηφoη
mατ ιo ξτ τ o s
2
1
Lx = y + 3z − λ1 − λ2 yz
5
1
Ly = x + 6z + λ1 − λ2 xz
2
Lz =3x + 6y − λ2 xy
x y
Lλ1 = −
−
5 2
Lλ2 = −(xyz − 12)
(0.1)
Los puntos cr´ıticos de la funci´
on de Lagrange se obtienen igualando a cero las derivadas
parciales en (0.1) y resolviendo el sistema resultante.
1
y + 3z − λ1 − λ2 yz = 0
5
x = 5.8723
1
x + 6z + 2 λ1 − λ2 xz = 0
y = 2.3489
z = 0.86997
3x + 6y − λ2 xy = 0
λ1 = 1.3050
x y
λ= 2.2989
−
= 0
2
5 2
xyz − 12 = 0
Definamos la matriz
G=
∇g1
∂g1
∂y
∂g1
∂z
=
∂g
1/5 −1/2
0
∂g2
yz
xz xy
2
∂x ∂y ∂z
La matriz hessiana de L, derivando s´
olo respecto de las variables de decisi´on p =
(x, y, z)
(0.2)
∇g2
∂g
1
∂x
=
∂g
2
Lxx Lxy Lxz
0
1 − λ2 z 3 − λ2 y
0
6 − λ2 x
Hx L = Lyx Lyy Lyz = 1 − λ2 z
Lzx Lzy Lzz
3 − λ2 y 6 − λ2 x
0
Portanto la matriz hessiana orlada de funci´
on lagrangiana asociada L es dado por
0
1 − λ2 z 3 − λ2 y 1/5 yz
1 − λ2 z
0
6 − λ2 x −1/2 xz
Hx L −GT
3
−
λ
y
6
−
λ
x
0
0
xy
HL =
=
2
2
−G
0
1/5
−1/2
0
0
0
yz
xz
xy
0
0
Evaluando en el punto cr´ıtico
(x = 5.8723, y = 2.3489, z = 0.86997, λ1 = 1.3050, λ2 = 2.2989)
Dr.MSc.Dipl.Lic.Dgte.PM.Cmdte. Mario Errol Chavez Gordillo PhD.
βoιυατ
βτ αηφoη
mατ ιo ξτ τ o s
HL =
3
0
−1,000 −2,400 1/5 2,0435
−1,000
0
−7,500 −1/2 5,109
−2,400 −7,500
0
0
13,794
1/5
−1/2
0
0
0
2,0435 5,109 13,794
0
0
Ahora bien calculemos Hr que el menor principal orlado de orden r de la matriz
hessiana orlada HL para r = m + 1, ..., n. Como hay n = 3 variables de decisi´on y
m = 2 restricciones entonces r = 2 + 1 = 3. Por tantosolo calculamos H3 = |HL|.
H3 =
0
−1,000 −2,400 1/5 2,0435
−1,000
0
−7,500 −1/2 5,109
0
13,794
−2,400 −7,500
0
1/5
−1/2
0
0
0
2,0435 5,109 13,794
0
0
= 114,16 > 0
Como (−1)2 H3 = (1)114,16 > 0 entonces en (x = 5.8723, y = 2.3489, z = 0.86997)
hay un m´ınimo local condicionado.
Al no contarse con un paquete matem´
atico este problema puede simplificarse despejando x en la primera restricci´on yreemplaz´
andola en la funci´
on objetivo y en la segunda
restricci´on, con lo cual se obtiene un problema en dos variables con una restricci´on.
A´
un m´as, este nuevo problema puede a su vez simplificarse despejando z y se tiene un
problema en una sola variable sin restricciones. Sin embargo, el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange est´a concebido para resolver problemas en los cuales...
´ lica Boliviana
Universidad Cato
´ n y la Competitividad
Escuela de la Produccio
Ingenier´ıa Financiera
La Paz - Bolivia.
Coloque el inicial de su
apellido paterno
✲
Docente: Dr. Mario Errol Chavez Gordillo PhD.
❄
❄
✲
´ n Matema
´tica
Segundo Examen de Optimizacio
Lunes 01 de Junio de 2015
Apellidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.I. . . . . . . . . . . . . . . .Firma . . . . . . . . . . . . . . .Carrera . . . . . . . . . . . . . . ......................
① (10 puntos). Encuentre las dimensiones de la cubeta que aparece en la figura de abajo
de tal manera que se minimice el material empleado y se cumplan las dos restricciones:
a) cada uno de los espacios debe tener unasecci´
on horizontal cuadrada.
b) el volumen total (sin tener en cuenta las particiones) debe ser igual a 12 pulgadas
c´
ubicas.
´
SOLUCION.El problema se plantea de la siguiente manera:
Minimizar Z = 3xz + xy + 6yz
x y
−
= 0
5 2
Sujeto a
xyz − 12 = 0
x
y
− , g2 (x, y, z) = xyz − 12.
5
2
Entonces la funci´on de Lagrange L(x, y, z) se define como sigue
en donde f (x, y, z) = 3xz + xy + 6yz, g1(x, y, z) =
L(x, y, z, λ1 , λ2 ) = 3xz + xy + 6yz − λ1
x y
−
− λ2 (xyz − 12)
5 2
Los c´alculos que siguen fueron hechos con el Paquete Mathematica vea el archivo
“2015,06,01 SegundoParcial.nb”. Las derivadas parciales respecto de las variables de
decisi´
on y de los multiplicadores de Lagrange son:
1
βτ αηφoη
mατ ιo ξτ τ o s
2
1
Lx = y + 3z − λ1 − λ2 yz
5
1
Ly = x + 6z + λ1 − λ2 xz
2
Lz =3x + 6y − λ2 xy
x y
Lλ1 = −
−
5 2
Lλ2 = −(xyz − 12)
(0.1)
Los puntos cr´ıticos de la funci´
on de Lagrange se obtienen igualando a cero las derivadas
parciales en (0.1) y resolviendo el sistema resultante.
1
y + 3z − λ1 − λ2 yz = 0
5
x = 5.8723
1
x + 6z + 2 λ1 − λ2 xz = 0
y = 2.3489
z = 0.86997
3x + 6y − λ2 xy = 0
λ1 = 1.3050
x y
λ= 2.2989
−
= 0
2
5 2
xyz − 12 = 0
Definamos la matriz
G=
∇g1
∂g1
∂y
∂g1
∂z
=
∂g
1/5 −1/2
0
∂g2
yz
xz xy
2
∂x ∂y ∂z
La matriz hessiana de L, derivando s´
olo respecto de las variables de decisi´on p =
(x, y, z)
(0.2)
∇g2
∂g
1
∂x
=
∂g
2
Lxx Lxy Lxz
0
1 − λ2 z 3 − λ2 y
0
6 − λ2 x
Hx L = Lyx Lyy Lyz = 1 − λ2 z
Lzx Lzy Lzz
3 − λ2 y 6 − λ2 x
0
Portanto la matriz hessiana orlada de funci´
on lagrangiana asociada L es dado por
0
1 − λ2 z 3 − λ2 y 1/5 yz
1 − λ2 z
0
6 − λ2 x −1/2 xz
Hx L −GT
3
−
λ
y
6
−
λ
x
0
0
xy
HL =
=
2
2
−G
0
1/5
−1/2
0
0
0
yz
xz
xy
0
0
Evaluando en el punto cr´ıtico
(x = 5.8723, y = 2.3489, z = 0.86997, λ1 = 1.3050, λ2 = 2.2989)
Dr.MSc.Dipl.Lic.Dgte.PM.Cmdte. Mario Errol Chavez Gordillo PhD.
βoιυατ
βτ αηφoη
mατ ιo ξτ τ o s
HL =
3
0
−1,000 −2,400 1/5 2,0435
−1,000
0
−7,500 −1/2 5,109
−2,400 −7,500
0
0
13,794
1/5
−1/2
0
0
0
2,0435 5,109 13,794
0
0
Ahora bien calculemos Hr que el menor principal orlado de orden r de la matriz
hessiana orlada HL para r = m + 1, ..., n. Como hay n = 3 variables de decisi´on y
m = 2 restricciones entonces r = 2 + 1 = 3. Por tantosolo calculamos H3 = |HL|.
H3 =
0
−1,000 −2,400 1/5 2,0435
−1,000
0
−7,500 −1/2 5,109
0
13,794
−2,400 −7,500
0
1/5
−1/2
0
0
0
2,0435 5,109 13,794
0
0
= 114,16 > 0
Como (−1)2 H3 = (1)114,16 > 0 entonces en (x = 5.8723, y = 2.3489, z = 0.86997)
hay un m´ınimo local condicionado.
Al no contarse con un paquete matem´
atico este problema puede simplificarse despejando x en la primera restricci´on yreemplaz´
andola en la funci´
on objetivo y en la segunda
restricci´on, con lo cual se obtiene un problema en dos variables con una restricci´on.
A´
un m´as, este nuevo problema puede a su vez simplificarse despejando z y se tiene un
problema en una sola variable sin restricciones. Sin embargo, el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange est´a concebido para resolver problemas en los cuales...
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