Optimizacion
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Publicado: 24 de julio de 2011
OPTIMIZACION
Se les llama ejercicios de optimización a aquellos en los que se busca obtener un mínimo de costo, utilizar un mínimo de material, tener un volumen máximo, esto es, cuando se busca optimizar los recursos. A continuación se presentan cuatro problemas de este tipo. Los problemas no utilizan datos reales, sin embargo, presentan una posible aplicación del cálculo a problemas realesde la oceanología.
Ejemplo 1.
Se quiere hacer un encierro de atún de forma cilíndrica para permitir el movimiento de los organismos. Las paredes y el fondo estarán hechos con red. Se ha determinado que el volumen ideal para los encierros es de 100 m3. Calcular las dimensiones que debe tener el encierro para utilizar la menor cantidad de red posible.
Se conoce el volumen del cilindroque conformará el encierro y se busca que el area de la red sea mínima. Por lo tanto, se deberán plantear dos fórmulas: el volumen de un cilindro (dato conocido) y el área del mismo.
[pic]
La ecuación (1) da la fórmula para calcular el volumen de un cilindro. En ella se observa que hay dos variables: el radio, r, y la altura, h. En la figura adyacente se muestra un cilindro extendido.También, se puede observar que el área total del encierro estará dada por la suma de las áreas de las “paredes” y el “fondo”. Por lo tanto,
[pic]
En la ecuación (2) existen las mismas dos variables. Se busca que el valor de A en (2) sea mínimo. Sin embargo, esta ecuación tiene dos variables. Para escribir (2) en términos de una sola variable para poder obtener el mínimo del área, seutilizará la ecuación (1). Entonces, despejando h en (1) se obtiene
[pic]
Este valor se sustituye en (2)
[pic]
La ecuación (3) describe el área como función, únicamente, del radio. Esta expresión se deriva para encontrar el valor del radio que resulte en un punto crítico del área.
[pic]
Los puntos críticos se encuentran igualando la derivada a cero, por lo tanto
[pic]
Por lotanto, si el radio es de r = 3.17 m, el área será máxima o mínima. Por lo tanto, se comprobará que este valor del radio corresponde al área mínima utilizando el criterio de la segunda derivada.
[pic]
La segunda derivada es positiva, por lo tanto, el punto crítico encontrado es un mínimo.
De (1) se despejó [pic], por lo tanto, si r = 3.17 m , entonces, [pic]. El encierro deberá tener unradio de 3.17 m y una profundidad o altura de 3.17 m para ocupar la menor cantidad de material posible teniendo un volumen de 100 m3.
Ejemplo 2.
Se cuenta con el dinero para comprar 500 m2 de terreno. Dentro de este terreno se quieren construir cuatro estanques rectangulares para el cultivo de un molusco dado. Encontrar las dimensiones del terreno que garanticen que el área de cada estanqueserá máxima. La separación entre estanques y con la reja que cercará el terreno debe de ser de 2 m.
[pic]
Se conoce el área total del terreno
[pic]
y se busca que el área de los estanques sea máxima. El área de un estanque va a estar dada por el producto entre la base del estanque y la altura del mismo. La base de un estanque, bi, es
[pic]
ya que hay una separación de 2 m entrela reja y el estanque y, a su vez, 2 m entre cada estanque. En total, se deben dejar 10 m para estos espacios. Como serán cuatro estanques, el resultado de b-10 se debe dividir entre cuatro.
De igual forma, la altura de cada estanque hi es
[pic]
dada la separación entre la reja y los estanques como se muestra en la figura. Entonces, el área de cada estanque es
[pic]
y, se habíadeterminado que la relación entre la base del terreno y la altura del mismo está dada por [pic]. Este valor se sustituye en la ecuación de Ai:
[pic]
Se busca el área máxima, por lo tanto, la última expresión se derivará e igualará a cero.
[pic]
Se descarta el valor negativo de b por no tener significado físico. Por lo tanto, se tiene que hay un punto crítico en b=35.355 m. Se usa...
Se les llama ejercicios de optimización a aquellos en los que se busca obtener un mínimo de costo, utilizar un mínimo de material, tener un volumen máximo, esto es, cuando se busca optimizar los recursos. A continuación se presentan cuatro problemas de este tipo. Los problemas no utilizan datos reales, sin embargo, presentan una posible aplicación del cálculo a problemas realesde la oceanología.
Ejemplo 1.
Se quiere hacer un encierro de atún de forma cilíndrica para permitir el movimiento de los organismos. Las paredes y el fondo estarán hechos con red. Se ha determinado que el volumen ideal para los encierros es de 100 m3. Calcular las dimensiones que debe tener el encierro para utilizar la menor cantidad de red posible.
Se conoce el volumen del cilindroque conformará el encierro y se busca que el area de la red sea mínima. Por lo tanto, se deberán plantear dos fórmulas: el volumen de un cilindro (dato conocido) y el área del mismo.
[pic]
La ecuación (1) da la fórmula para calcular el volumen de un cilindro. En ella se observa que hay dos variables: el radio, r, y la altura, h. En la figura adyacente se muestra un cilindro extendido.También, se puede observar que el área total del encierro estará dada por la suma de las áreas de las “paredes” y el “fondo”. Por lo tanto,
[pic]
En la ecuación (2) existen las mismas dos variables. Se busca que el valor de A en (2) sea mínimo. Sin embargo, esta ecuación tiene dos variables. Para escribir (2) en términos de una sola variable para poder obtener el mínimo del área, seutilizará la ecuación (1). Entonces, despejando h en (1) se obtiene
[pic]
Este valor se sustituye en (2)
[pic]
La ecuación (3) describe el área como función, únicamente, del radio. Esta expresión se deriva para encontrar el valor del radio que resulte en un punto crítico del área.
[pic]
Los puntos críticos se encuentran igualando la derivada a cero, por lo tanto
[pic]
Por lotanto, si el radio es de r = 3.17 m, el área será máxima o mínima. Por lo tanto, se comprobará que este valor del radio corresponde al área mínima utilizando el criterio de la segunda derivada.
[pic]
La segunda derivada es positiva, por lo tanto, el punto crítico encontrado es un mínimo.
De (1) se despejó [pic], por lo tanto, si r = 3.17 m , entonces, [pic]. El encierro deberá tener unradio de 3.17 m y una profundidad o altura de 3.17 m para ocupar la menor cantidad de material posible teniendo un volumen de 100 m3.
Ejemplo 2.
Se cuenta con el dinero para comprar 500 m2 de terreno. Dentro de este terreno se quieren construir cuatro estanques rectangulares para el cultivo de un molusco dado. Encontrar las dimensiones del terreno que garanticen que el área de cada estanqueserá máxima. La separación entre estanques y con la reja que cercará el terreno debe de ser de 2 m.
[pic]
Se conoce el área total del terreno
[pic]
y se busca que el área de los estanques sea máxima. El área de un estanque va a estar dada por el producto entre la base del estanque y la altura del mismo. La base de un estanque, bi, es
[pic]
ya que hay una separación de 2 m entrela reja y el estanque y, a su vez, 2 m entre cada estanque. En total, se deben dejar 10 m para estos espacios. Como serán cuatro estanques, el resultado de b-10 se debe dividir entre cuatro.
De igual forma, la altura de cada estanque hi es
[pic]
dada la separación entre la reja y los estanques como se muestra en la figura. Entonces, el área de cada estanque es
[pic]
y, se habíadeterminado que la relación entre la base del terreno y la altura del mismo está dada por [pic]. Este valor se sustituye en la ecuación de Ai:
[pic]
Se busca el área máxima, por lo tanto, la última expresión se derivará e igualará a cero.
[pic]
Se descarta el valor negativo de b por no tener significado físico. Por lo tanto, se tiene que hay un punto crítico en b=35.355 m. Se usa...
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