Optimización de problemas

Problemas de optimización

Problemas de optimización

En esta sección se muestra cómo usar la primera y segunda derivada de una función en la búsqueda de valores extremos en los llamados: “problemas de aplicaciones” o “problemas de optimización”. Aunque los ejemplos son esencialmente geométricos, ellos ilustran un procedimiento general.

Antes de enumerar los pasos que se deben seguiral abordar problemas que incluyen extremos absolutos, se enuncia sin demostración, un teorema, conocido como el criterio de la segunda derivada, el cual permite, en algunos casos, determinar, de una manera más fácil, si un punto crítico dado corresponde a un máximo o a un mínimo relativo.

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

Sea ƒ una función dos vecesderivable en un intervalo abierto I, sea c un punto de I, tal que: ƒ ‘(c) = 0 Entonces:
i. Si ƒ’’ (c)<0, entonces, ƒ presenta un máximo relativo en c
ii. Si ƒ’’(c)>0, entonces, ƒ ´presenta un mínimo relativo en c

Observación:
Si ƒ’’(c) = 0, entonces, la naturaleza del punto crítico c no queda determinada, como lo ilustran los siguientes casos:
La función, f (x) = x4, satisface: f ’ (0) =0 y f ’’(0) = 0. Sin embargo, ƒ (x) presenta un mínimo relativo en x = 0.

Igualmente, la función: g (x) = - x4, satisface: g ’ (0) = 0 y g ’’ (0) = 0. Sin embargo , g (x) presenta un máximo relativo en x = 0 (fig. 4.21 (b)).

También, la función, h (x) = x3, satisface: h ’ (0) = 0 y
h ’’ (0) = 0, pero h (x) es creciente en todo el eje real y no presenta extremo relativo en x = 0 (fig.4.21 (c)).

En lo que sigue se considerarán algunos problemas cuya solución es un extremo absoluto de una función definida en un intervalo cerrado. Se hace uso del teorema 2 de la sección 4.22 (Teorema de los valores extremos), el cual garantiza la existencia de un valor máximo absoluto y de un valor mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado.
Se enumeran a continuaciónalgunos pasos que son útiles al abordar un problema de esta naturaleza.
1. Hacer hasta donde sea posible un dibujo indicando las variables que intervienen en el problema.
2. Determinar la función a maximizar o minimizar asi como el intervalo en el cual está definida.
3. Utilizar la información del problema para expresar la función obtenida en el paso 2., en términos de una sola variable.
4.Utilizar la regla práctica dada en la observación al teorema 2 de la sección 9.9.3. para encontrar extremos absolutos.

Se ilustra el procedimiento anterior con algunos ejemplos.

Ejemplo 1.
Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 mts. de ancho. El punto D está a 600 mts. de B y en su misma orilla. (fig. 4.22). Una compañía de teléfonosdesea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es el 25% mas caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo?.

Solución:
Sea Q el punto sobre la misma orilla y a una distancia x de B donde termina el tramo de cable bajo el agua.
Se puede definir ahora las constantes y variables del problema:
x: distancia de B a Q;0 < x < 600
y: distancia de A a Q; (longitud de cable bajo el agua).
600 – x: distancia de Q a D; (longitud de cable por tierra).
k (const): costo por metro de cable por tierra.
54 (const): costo por metro de cable por agua. (54k=1.25k)
P : costo total (función a minimizar).
De acuerdo al teorema de Pitágoras, y= xx2+3002 (1).
Ahora, la función costo total viene dada por:C=54ky+k (600-x) (2)
Sustituyendo (1) en (2), la función costo total puede escribirse en términos solamente de la variable x así:
C x= 54k x2+3002 +k 600-x;con 0 ≤x ≤600 (dominio de C x)
C x= 54 x2+3002-1/2 + k (600 – x) (3)
Como C (x) es una función continua en un intervalo cerrado, C (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en [0,600].
Al derivar en (3) e a cero, se...