problema de optimizacion

MATEMÁTICAS: 2º BACHILLERATO
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6
1.- Determina dos números cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno de ellos por
el cubo del otro sea máximo.
x = 1er número;

y = 2º número

Relación: x + y = 24
Función: f(x,y) = x· y 3

⇒ x = 24 – y
⇒ f(y) = (24 − y )· y 3 = 24 y 3 − y 4

Calculemos ahora la derivada de dicha función: f´(y) = 72y 2 − 4 y 3
Igualando a cero dicha derivada para calcular los posibles máximos o mínimos de la
función: f´(y) = 0 ⇒ 72 y 2 − 4 y 3 = 0 ⇒ y = 0 ó 72 – 4y = 0 ⇒ y = 0; y = 18 posibles
máximos ó mínimos de la función.
Hallando la 2ª derivada para saber si es un máx. ó mín.: f´´(y) = 144 y − 12 y 2
Sustituyamos los posibles máximos ó mínimos en dicha derivada:
f´´(0) = 0 duda ⇒ f´´(y) = 144 –24y ⇒ f´´(0) = 144 ≠ 0 ⇒ y = 0 es P.I. de f(x)
f´´(18) = 144·18 – 12·182 = - 1296 < 0

máximo : y = 18; x = 24 – 18 = 6

Solución: Los números pedidos son 6 y 18.
2. Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de la
longitudes de sus dos catetos vale 4 cm.
x = 1er cateto (base);

y = 2º cateto (altura)

y
x
Función: f(x,y) =

Relación: x + y = 4x⋅ y
2

⇒ f(x) =

⇒ y=4–x

4x − x 2
x ⋅ (4 − x )
=
2
2

4 − 2x
2
Igualando a cero dicha derivada para calcular los posibles máximos o mínimos de la
4 − 2x
= 0 ⇒ 4 – 2x = 0 ⇒ x = 2 posible máximo ó mínimo de la
función: f´(x) = 0 ⇒
2
función.
−2
Hallando la 2ª derivada para saber si es un máx. ó mín.: f´´(x) =
=-1
2
Sustituyamos el posible máx. ó mín. en dicha derivada:
2·2f´´(2) = - 1 < 0
máximo : x = 2; y = 4 – 2 = 2 ⇒ A =
= 2 cm2
2
Solución: El área máxima que puede tener el triángulo rectángulo es de 2 cm2

Calculemos ahora la derivada de dicha función: f´(x) =

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6

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3.- Si se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado
del camino cuesta 80 Euros/m y la de losotros 10 Euro/m, halla el área del mayor campo
que puede cercarse con 28800 Euros.
Relación:
y

90x + 20y = 28.800 ⇒ 9x+2y= 2880 ⇒ y = 1440 – 4´5x

Función (área): f(x,y) = x·y ⇒ f(x) = x·(1440 – 4´5x) = 1440x – 4´5x2

x
Derivando: f´(x) = 1440 – 9x
Camino
Igualando a cero: f´(x)=0 ⇒ 1440 – 9x = 0 ⇒ x = 160 posible

máx. ó mín.

Hallando la segunda derivada: f´´(x) = - 9Sustituyamos el posible máx. ó mín. en dicha derivada: f´´(160) = -9 < 0 máximo.
Si x = 160 ⇒ y = 1440 – 4´5·160 = 720
Solución:

El área del mayor campo que se puede cercar con 28800 Euros es de

160 m. x 720 m. = 115.200 m2.

4. Las páginas de un libro deben medir cada una 600 cm2 de área. Sus márgenes laterales
y el inferior miden 2 cm. y el superior mide 3 cm. Calcular las dimensiones de lapágina que
permitan obtener la mayor área impresa posible.
Alto de la página impresa: y-5
Ancho de la página impresa: x-4
Área impresa = (x-4)·(y-5) (función objetivo)
600
Área páginas = x·y = 600 (relación) ⇒ y =
x
2400
⎛ 600
⎞
Función: f(x, y) = (x-4)·( y – 5) ⇒ f(x) = (x – 4)· ⎜
+ 20
− 5 ⎟ = 600 – 5x –
x
⎝x
⎠
2400
Derivando: f´(x) = - 5 +
x2
2400
2400
2400
Igualando a cero:f´(x) = 0 ⇒ - 5 +
=0 ⇒
= 5 ⇒ x2 =
⇒
2
2
5
x
x
⇒ x = ± 480 = ± 21,91

Como no pude ser – 21,91 ya que las longitudes no pueden ser negativas. El único
punto posible máximo ó mínimo de f(x) es x= +21,91
0 − 2400·2 x − 4800
Hallando la segunda derivada: f´´(x) =
=
x4
x3
Sustituyamos el posible máx. ó mín. en dicha derivada: f´´(21,91) = (-) < 0 máximo.
600
Si x = 21,91 ⇒ y =
=27,38
21,91
Solución: La hoja debe tener de ancho 21,91 cm y 27,38 cm de alto..

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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6
5.- Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 10 cm, calcula las
dimensiones del que tenga área máxima.
Relación: x2 + y2 = 202 ⇒ y2 = 400 – x2 ⇒ y =
Función: A(x, y) = x·y

⇒ A(x) = x· 400 − x 2 =

400 − x 2
400 x 2 − x...