optimización
Introducción 3
¿Qué es la optimización? 3
¿Para qué sirve la? 3
Primer problema 4
Segundo Problema 6
Conclusión 8
Referencias 9
Introducción
Durante este semestre en la materia de cálculo diferencial e integral, uno de los temas más importantes e interesantes que vimos fue el de optimización. Consideramos que es uno de los temas más importantes ya que se puede aplicar enproblemas con los que nos encontramos día con día y con la optimización podemos solucionarlos de manera rápida y de la misma manera estar seguros de que el resultado es correcto. A lo largo de este trabajo, se dará a conocer información relevante sobre el tema y se presentarán 2 problemas de optimización que consideramos significativos.
¿Qué es la optimización?
De acuerdo a la Real Academiade la lengua española, la palabra optimizar significa buscar la mejor manera de realizar una actividad. Esta definición es muy similar a la que se le da en Cálculo. La optimización se refiere a mejorar el rendimiento de algo y en la mayoría de los casos se busca maximizar o minimizar algún aspecto en un problema.
¿Para qué sirve la optimización?
La optimización en cálculo se trata de unaserie de pasos que nos llevan a resolver problemas, muchas veces en casos de la vida real, en los que se busca mejorar u “optimizar” aspectos como una dimensión, un costo o una producción.
La optimización se puede aplicar en áreas como economía, ingeniería, química, entre otras. Al momento de encontrarnos con situaciones en las que no sabemos qué elegir, la optimización nos puede resultar demucha utilidad ya que a través de un par de operaciones podemos darnos cuenta qué nos resulta conveniente y qué no.
Primer problema
Se quiere construir una caja abierta con base cuadrada, empleando 108 pulgadas cuadradas de material. ¿Qué dimensiones producirán una caja de volumen máximo?
Solución: como la caja tiene base cuadrada, su volumen es
V= (x2) (h) Primera Ecuación
Además,como está abierta por su parte superior, su área es
S=(área de la base) + (área de los cuatro laterales)
S= (x2) + 4xh=180 Segunda Ecuación
Ya que deseamos maximizar V, la expresamos como función de una sola variable. Para ello despejamos h en 180=(x2 )+4xh en términos de x, es decir
h=
Sustituyendo en la ecuación del volumen obtenemos
Función deuna variable
Antes de hallar el valor de x que produce máximo volumen, hemos de determinar el dominio admisible es ¿Qué valor de x tienen sentido en este problema? Sabemos que x ha de ser no negativo y que el área de la base es 180.
Así pues
0< x < ( Dominio
Ahora bien, para maximizar V en los números críticos terminales del dominio, vemos que
x= +-6 números críticosEvaluando V en los números críticos del dominio y en los puntos terminales del dominio vemos que
V(0)=0 V(6)=108 y V((180)1/2) =0
Evaluando V en máximo cuando x=6, es decir para una caja de dimensiones
6 x 6 x 3
6x6x3 = Volumen de 108
Segundo Problema
En este proyecto se investigará cuál es la forma de una lata y además hacerla lo más económica posible.
El primerpaso que se realiza es interpretar los datos que tenemos para realizarlas. Se nos da el volumen de una lata cilíndrica y se necesita hallar la altura y el radio que minimice el costo para fabricarla. En varios problemas se dice que el h=2r pero si mides una lata con una regla observarás que esta operación es errónea ya que su altura se encuentra alrededor de 3.8.
El material para algunas láminasse corta de láminas metálicas. Los costados cilíndricos de las latas se forman al doblar rectángulos, estos rectángulos son cortados con muy poco o ningún desperdicio; sin embargo, si los discos, el superior y el del fondo se cortan a partir de cuadrados de lado 2r, esto deja mucho metal de desecho, el cual puede reciclarse pero tiene muy poco valor para quienes fabrican latas. Este problema...
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