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Igualdades
En matemáticas, dos objetos matemáticos son considerados iguales si son el mismo objeto.
Por ejemplo, la frase "la suma de dos y dos" y la expresión " cuatro" se refieren al mismo objeto matemático, un cierto número natural. La expresión "es igual a" o "es lo mismo que" se suele representar en matemáticas con el signo ' =‘.
Un enunciado en el que dos expresiones (iguales odistintas) denotan el mismo objeto se llama una ecuación o una igualdad. Un ejemplo de ecuación sería "dos más dos es lo mismo que cuatro", que se suele escribir así:

Una relación de equivalencia entre los elementos de un conjunto determina sobre el conjunto dado una partición o una colección de clases de equivalencia. El conjunto de las clases de equivalencia se llama conjunto cociente. Decimos quedos elementos del conjunto original son equivalentes si pertenecen a la misma clase de equivalencia.
Por ejemplo, los números naturales se pueden dividir en dos clases, usando la relación de equivalencia 'dos números están relacionados si dan el mismo resto al dividirlos por dos'. Esta relación divide los números en dos clases, los pares y los impares. El conjunto cociente contiene dos elementos,que son, el conjunto de los números pares, y el conjunto de los impares. Según esta relación, 4 y 8 pertenecen a la misma clase y son 'equivalentes', pero 16 y 17 pertenecen a clases distintas.
Reglas que tiene que cumplir una relación  para ser de equivalencia:
Reflexiva: 
Simétrica: Si  entonces.
Transitiva: Si  ,  entonces.
Las igualdades pueden ser:
1) Condicionales, en cuyo caso secumplen para solo algunos valores de la variable, por ejemplo, si, solo se cumple la igualdad si.
2) Identidades: se cumplen para todos los valores permisibles de la variable, por ejemplo:
 Es una identidad algebraica que se cumple para todos los valores de.

Ecuación
Una ecuación, en el álgebra, es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valoresconocidos o datos, y desconocidos o incógnitas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

lavariable  representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta.
Se llama solución de una ecuación acualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

Resolver una ecuación es encontrar su conjunto de valores admisibles o sea el CVA, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. El conjunto solución puede tener puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellosuna solución o raíz de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la expresión se llama identidad.

Identidades
En matemáticas, una identidad es la constatación de que dos objetos que se escriben matemáticamente diferentes son de hecho el mismo objeto. En particular, una identidad es una igualdad entre dosexpresiones que es cierta sean cuales sean los valores de las distintas variables empleadas. Las identidades suelen utilizarse para transformar una expresión matemática en otra equivalente, particularmente para resolver una ecuación.
Ejemplos
En el conjunto de los números complejos, la identidad de Euler

Relaciona de manera muy simple los números fundamentales 0; 1; i; π; y e. Esta...