Parabola

Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p). Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz. Se llamavértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.
Construcción geometrica animada en regla y compas>>
La ecuación para una parabola con eje focal paralelo al eje x , vértice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:
 
La ecuación para una parabola con eje focal paralelo al eje y,  vertice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:

Construcción
Se debe tomar una hoja de acetato enella se dibuja un punto.Para construir la parábola se dobla la hoja de tal manera que cualquier punto del borde inferior coincida con el punto dibujado y desdoblamos la hoja. Haciendo este procedimiento varias veces con un punto distinto del borde inferior cada vez, tendrémos que las marcas de los dobleces han formado una parábola. El punto dibujado es el foco y el borde inferior de la hoja, ladirectriz.
Otra forma de encontrar una parábola es la siguiente. Se debe hacer un corte a un cono de unicel con un plano, la dirección del corte debe ser desde la base del cono a cualquier punto del cono. El perímetro de este corte será una parábola.
-Aplicaciones
Las aplicaciones de las parabolas son basicamente aquellos fenomenos en donde nos interesa hacer conveger o diverger un haz de luz ysonido principalmente. Por ejemplo las antenas parabolicas, las lamparas sordas, los faros de los autos. Se pueden construir, por la misma propiedad de las parabolas, hornos solares. Los microfonos de ambiente en algunos deportes tambien tienen forma paraboloidal.
Las parábolas tienen una propiedad  Si se coloca una bombilla encendida en el foco de la parábola, algunos haces de luz seránreflejados por la parábola y todos estos rayos serán perpendiculares a la directriz. Esta propiedad es usada en las lámparas sordas o en los faros de los automóviles estos están formados por un paraboloide (parábola en 3 dimensiones) de espejos y una bombilla en el foco de este paraboloide. En algunas lámparas se puede mover la bombilla del foco y los haces de luz divergeran o convergerán. Esteprincipio funciona también en las antenas parabólicas. Un satélite envía información a la Tierra, estos rayos serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra el satélite. Al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en donde se encuentra un receptor que decodifica la información. También en los telescopios se usa esta propiedad.Parábola
 
Ahora, vamos a deducir las ecuaciones de las secciones cónicas a partir de su definición como lugares geométricos y no como la intersección de un cono con un plano, como se hizo en la antigüedad. Ya conocemos que la gráfica de una función cuadrática con , es una parábola. Sin embargo, no toda parábola es la gráfica de una función, como podemos concluir de la siguiente definición. 
  |  Definición |
  | Una parábola es el conjunto de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco de la parábola) y de una recta fija (llamada la directriz de la parábola) que no contiene a (figura 1). |
 

Figura 1.
El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la parábola.Se puedeobservar en la figura 1 que una parábola es simétrica respecto a su eje.
 
Programa Interactivo
En este programa, puede arrastrar los puntos rojos con el mouse. La directriz es la línea azul y el foco es el punto con la etiqueta "F"
 
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   |  Teorema (ecuación canónica de la parábola) |
  | La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice y directriz es
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