Paradoja de russell
Páginas: 4 (882 palabras)
Publicado: 3 de abril de 2011
La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russell en 1901, demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.
La paradoja entérminos de conjuntos
Supongamos un conjunto que consta de elementos que no son miembros de sí mismos. Un ejemplo descrito es el que supone un conjunto que consta de "ideas abstractas". Dicho conjuntoes miembro de sí mismo porque el propio conjunto es una idea abstracta, mientras que un conjunto que consta de "libros" no es miembro de sí mismo porque el conjunto en sí no es un libro. Russellpreguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de sí mismos (es decir, aquel conjunto que engloba a todos aquellos conjuntos que no están incluidos ensí mismos, como el de "libros" en el ejemplo anterior) forma parte de sí mismo. La paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de símismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo.
Enunciemos la paradoja de otra forma: llamemos M al "conjunto de todos losconjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros". Es decir
Según la teoría de conjuntos de Cantor, la ecuación (1) se puede representar por
Es decir "Cada conjunto es elemento de M si y sólosi no es elemento de sí mismo". Ahora, en vista de que M es un conjunto, se puede substituir x por M en la ecuación (2), de donde se obtiene
Es decir que M es un elemento de M si y sólo si M no esun elemento de M, lo cual es absurdo.
La paradoja en términos del barbero
La paradoja de Russell ha sido expresada en varios términos más cotidianos, el más conocido es la paradoja del barbero quese puede enunciar de la siguiente manera:
En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner...
La paradoja entérminos de conjuntos
Supongamos un conjunto que consta de elementos que no son miembros de sí mismos. Un ejemplo descrito es el que supone un conjunto que consta de "ideas abstractas". Dicho conjuntoes miembro de sí mismo porque el propio conjunto es una idea abstracta, mientras que un conjunto que consta de "libros" no es miembro de sí mismo porque el conjunto en sí no es un libro. Russellpreguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de sí mismos (es decir, aquel conjunto que engloba a todos aquellos conjuntos que no están incluidos ensí mismos, como el de "libros" en el ejemplo anterior) forma parte de sí mismo. La paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de símismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo.
Enunciemos la paradoja de otra forma: llamemos M al "conjunto de todos losconjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros". Es decir
Según la teoría de conjuntos de Cantor, la ecuación (1) se puede representar por
Es decir "Cada conjunto es elemento de M si y sólosi no es elemento de sí mismo". Ahora, en vista de que M es un conjunto, se puede substituir x por M en la ecuación (2), de donde se obtiene
Es decir que M es un elemento de M si y sólo si M no esun elemento de M, lo cual es absurdo.
La paradoja en términos del barbero
La paradoja de Russell ha sido expresada en varios términos más cotidianos, el más conocido es la paradoja del barbero quese puede enunciar de la siguiente manera:
En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner...
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