Paradoja Del Barbero

Paradoja del barbero

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet
diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner
sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y
ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran
hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Sametpara que lo afeitara y
él le contó sus angustias:
- EN MI PUEBLO SOY EL ÚNICO BARBERO. NO
PUEDO AFEITAR AL BARBERO DE MI PUEBLO,
¡QUE SOY YO!, YA QUE SI LO HAGO,
ENTONCES PUEDO AFEITARME POR MÍ
MISMO, POR LO TANTO ¡NO DEBERÍA
AFEITARME! PERO, SI POR EL CONTRARIO NO
ME AFEITO, ENTONCES ALGÚN BARBERO
DEBERÍA AFEITARME, ¡PERO YO SOY EL
ÚNICO BARBERO DE ALLÍ!

EL EMIR PENSÓ QUE SUSPENSAMIENTOS
ERAN TAN PROFUNDOS, QUE LO PREMIÓ
CON LA MANO DE LA MÁS VIRTUOSA DE SUS
HIJAS. ASÍ, EL BARBERO AS-SAMET VIVIÓ
PARA SIEMPRE FELIZ.

• La paradoja del barbero o paradoja
de Russell, descrita por Bernard
Russell en 1901, demuestra que la
teoría original de conjuntos
formulada por Cantor y Frege es
contradictoria.
• Esta paradoja, como se verá, no es
como la paradoja del mentirosopero
tiene el mismo resultado final: no se
le puede asignar un valor
determinado a una afirmación sin
incurrir en una contradicción. En la
paradoja del mentiroso no podíamos
decir que la proposición "Esta
oración es falsa" fuera ni verdadera
ni falsa ya que en un caso u otro
caeríamos en una contradicción. En
la paradoja de Russell no podemos
decir si el conjunto de todos los
conjuntosnormales es normal o
singular, pero antes paso a explicar
que significa conjunto normal y
conjunto singular.

Conjuntos normales y conjuntos
singulares
•

•

•

Los conjuntos son normalmente conjuntos de
cosas. Estos conjuntos son "conjuntos
normales" y su principal característica es que
no se contienen a sí mismo. Por ejemplo, el
conjunto "Letras" no se contiene a sí mismo yaque el conjunto "Letras" no es una letra.
También existen conjuntos de conjuntos pero
siguen siendo normales si cumplen el requisito
de no contenerse a sí mismos.
Pero ¿cómo puede un conjunto contenerse a sí
mismo?
pongamos el caso del conjunto de los objetos
que no son animales y llamémosle H; como H
no es un animal sino un conjunto podemos
incluir a H dentro de sí mismo. Al contenerse así mismo decimos que H es un conjunto
singular. Un conjunto singular, por lo tanto, es
un conjunto que se contiene a sí mismo.

•

Ahora tomemos al conjunto N que es el conjunto de todos los conjuntos normales. Preguntamos
¿es este conjunto normal o singular? La paradoja es la siguiente

+ Si N fuera normal entonces no se podría contener a sí mismo por la definición de conjunto normalpero en la definición de N se dice que es el conjunto de todos los conjuntos normales. Luego si N
fuera normal debería contenerse a sí mismo y no contenerse.
+ Si N fuera singular entonces se contendría a sí mismo en su conjunto por definición de conjunto
singular pero en la definición de N se dice que es el conjunto de todos los conjuntos normales y por
lo tanto no se puede contener a símismo, que es, bajo este supuesto, un conjunto singular. Luego si
N fuera singular debería contenerse a sí mismo y no contenerse.
•

Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman
parte de sí mismos (es decir, aquel conjunto que engloba a todos aquellos conjuntos que no están
incluidos en sí mismos, como el de las "letras" en el ejemploanterior) forma parte de sí mismo. La
paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no
forman parte de sí mismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí
mismo sólo si no forma parte de sí mismo.

Representación de la paradoja de
Russell
•

Llamemos �� al "conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí...