peces oseos

Razones trigonométricas del ángulo mitad
Sabemos que cos2x = cos2xsen2x = 2cos2x 1 = 1sen2x y despejando el sen2x y el cos2x, obtenemos:

cos2x=
1+cos(2x)

2


y

sen2x=
1cos(2x)2


Si hacemos 2x=t, tendremos:


y el signo que le asignaremos dependerá del cuadrante donde se encuentre t/2.
Análogamente:



Veamos la fórmula de la tangente del ángulo mitad,para obtenerla basta aplicar las dos anteriores:


Ejemplo 1 Calcula la tg(15o)
Solución.- Como 15o pertenece al primer cuadrante su signo será +.

Ejercicio.- Halla las razonestrigonométricas de 22º 30'. Solución

Seno de la suma de dos ángulos
Sean a y b ángulos del primer cuadrante, vamos a ver que:
sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)
La restricción no quita generalidad a la fórmulapues siempre podemos reducir los ángulos del segundo, tercer y cuarto cuadrante al primero.
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El área de los triángulos T, P y Q valen:
T=1/2 h h1 sen(a+b)
P=1/2 h m sen(a)
Q=1/2 h1 m sen(b)
pero observemos que:
m = h1cos(b)
m = h cos(a)que sustituyendo en P y Q respectivamente, nos da:
P=1/2 h h1 sen(a) cos(b)
Q=1/2 h h1 sen(b) cos (a)
además sabemos que el área de T es igual al área de P más el área de Q, por tanto:
1/2 h h1sen(a+b) = 1/2 h h1 sen(a) cos(b) + 1/2 h h1 sen(b) cos(a)
de donde:
 
sen(a+b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)
Ejercicio.- Calcula el seno de 75º sin ayudarte de la calculadora.
 
Seno de ladiferencia de dos ángulos
Cambiando b por -b, nos queda
sen(a-b) = sen(a) cos(-b) + sen(-b) cos(a)=
=sen(a) cos(b) - sen(b) cos(a)
sen(a-b) = sen(a) cos(b) - sen(b) cos(a)
Ejercicio.- Calcula elseno de 15º sin ayudarte de la calculadora.
Coseno de la suma de dos ángulos
Sabemos que cos(x)=sen(90º-x), así que utilizando la fórmula anterior del seno y esta relación podemos obtener:...