Pendulo simple

Supongamos que el péndulo tiene una longitud L, y lleva en su extremo una masa
m.
En cualquier posición podemos considerar un sistema de referencia centrado en la
masa m.Las fuerzas que actúan son:
En dirección perpendicular al movimiento (lo llamaré eje y), la componente del
peso y la tensión de la cuerda. La resultante de esas fuerzas esR = mg.cosθ - T
m.a = mg.cosθ - T
Como en esta dirección no hay aceleración, el 1º miembro es cero
0 = mg.cos θ - T
T = mg.cos θ
En dirección paralela al movimiento, laúnica fuerza que actúa es la componente
del peso en esa dirección. La resultante es
R(x) = mg.senθ
m.a = mg.senθ
a = g.senθ
La aceleración es el cambio de velocidad en eltiempo:
dv/dt = g.senθ
la velocidad tangencial, es en módulo igual a la velocidad angular por el radio, que
en este caso es la longitud L del péndulo. Si consideramos elvector, tenemos que
tener en cuenta que cuando θ aumenta, w disminuye, y cuando θ disminuye, w
aumenta, de modo que lo expresamos mediante un signo negativo:
d/dt(-w.L) =g.sen θ
dw/dt =-(g/L).sen θ
La velocidad angular, w, es igual a la derivada del ángulo θ con respecto al
tiempo:
d/dt(dθ/dt) = -(g/L).sen θ
d²θ/dt² = - (g/L).sen θ
d²θ/dt² +(g/L).sen θ = 0
Esta sería la ecuación diferencial para el movimiento del péndulo. Se puede
resolver mediante integrales elípticas. Pero si suponemos que el ángulo θ es muypequeño, el seno del ángulo tiende a se igual al ángulo, de modo que tenemos:
sen θ ≈ θ
reemplazamos en la ecuación anterior y nos queda.
d²θ/dt² + (g/L).θ = 0
Unaecuación mucho más manejable, cuya solución es:
θ(t) = A.sen (g/L)t + B.cos (g/L).t
Donde el valor de las constantes A y B dependen de las condiciones iniciales del
problema.