Pendulos acoplados

Introducción:

Una razón de ser de las matemáticas aplicadas es el aporte que brindan, con apoyo de las ecuaciones diferenciales ordinarias, a una extensa variedad de situaciones de las ciencias en sus distintas disciplinas clasificadas como ciencias naturales. En el área de la física es donde se encuentran mecánicos y eléctricos (por mencionar solo dos clases) modelados por clasificación deecuaciones diferenciales, tomando claramente en cada caso los ajustes pertinentes para la simplificación de tales modelos. Precisamente este trabajo enmarca el contexto de las matemáticas aplicadas.

Un fenómeno físico que se encuentra con frecuencia en la literatura científica inmerso en la mecánica, específicamente el tema de oscilaciones pequeñas, es la modelación y comportamiento oscilatoriosacoplados, el cual en diversas situaciones y en particular en este artículo consiste de dos péndulos acoplados por un resorte (unidos por un resorte colocado entre las varillas que suspenden las masas).

El presente trabajo tiene como objeto de estudio a un sistema físico análogo al descrito en el párrafo anterior. Para dicho modelo se encuentran las ecuaciones diferenciales ordinarias quedescriben el movimiento de las masas, tomando en cuenta las simplificaciones mencionadas en su momento y además se realizara un análisis cualitativo y cuantitativo del modelo matemático, principalmente sobre la estabilidad del sistema cuando interviene una aceleración vertical perteneciente a un conjunto funcional. El hecho de que esta función se mantenga variando en tal conjunto, quiere decir que seestudiara la estabilidad robusta o estabilidad absoluta del sistema.
El enfoque que se abordara para la demostración del resultado preliminar al teorema culminante de este artículo, presenta similitudes al enfoque presentado aunque se toma en consideración que en cierto sentido es “inverso” al ahí efectuado. El adjetivo inverso se explica porque en la actual presentación se estudia elcomportamiento opuesto de las soluciones en lo que respecta a la evolución o comportamiento de las amplitudes de las oscilaciones cuando transcurre el tiempo, ya que mientras en la mencionada referencia se estudia el crecimiento de dichas amplitudes, en el presente escrito estudiamos el decrecimiento de ellas, el cual como inmediatamente se entiende, es un comportamiento opuesto.

Un péndulo simple estáformado por una masa puntual suspendida de un hilo inextensible y sin masa, capaz de oscilar libremente en torno a su posición de equilibrio. Cuando separamos ligeramente la masa de la posición de equilibrio, ésta oscila a ambos lados de dicha posición realizando un movimiento armónico simple. Este péndulo simple es capaz de almacenar energía potencial debido a su posición gravitatoria, ytransformarla en energía cinética. Si no existiera rozamiento este proceso no terminaría nunca. La energía de este oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud. Dos péndulos simples unidos entre sí mediante un hilo de forma horizontal y situados a la misma altura forman un péndulo acoplado. En éste, la energía se transfiere por el hilo pasando de un péndulo a otro progresivamente. Si se haceoscilar uno de los péndulos, después de un tiempo comenzará a frenarse gradualmente mientras que el otro péndulo empieza a oscilar aumentando su amplitud progresivamente. Llegará un momento en que el primer péndulo se pare totalmente, pues su energía se transfiere al segundo que alcanza su amplitud máxima, empezando ahora el proceso en sentido inverso.

Ecuación de oscilaciones pequeñas

Como sedescribió en la Introducción, el modelo físico que se estará estudiando consiste de dos péndulos acoplados por un resorte colocado en la forma y con las características que se ilustran en la Fig. 1. Con el fin de simplificar el modelo para obtener las ecuaciones diferenciales de oscilaciones pequeñas que rigen el movimiento de las masas de los péndulos, se asumen las siguientes condiciones: El...