Pene

CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL

CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO EN ESPACIOS DE RIEMANN

En los aledaños de la Relatividad General

Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) y un estudiante suyo, Tullio Levi-Civitta (1873-1941), fueron los pioneros en el desarrollo del calculo tensorial, que recibió el empuje definitivo al convertirse en laherramienta matemática clave que permitiría a Albert Einstein una exposición coherente de la Relatividad General, estableciendo la transformación de sistemas referenciales mediante diferenciación absoluta de magnitudes vectoriales y tensoriales.

Ambos publicaron en 1901 El Cálculo diferencial absoluto (“Méthodes de calcul diférentiel absolu et leurs applications”, Mathematische Annalen54, 125-201 (1901)), su obra más famosa, que está hoy traducida a diversos idiomas y es uno de los textos clásicos de referencia del cálculo tensorial, más de un siglo después de su primera publicación.

CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 1

CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL

01. INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DERIEMANN

01.1. Definición de Espacio de Riemann:

El hecho de que se anule en los espacios euclidianos el tensor de curvatura de Riemann-Christoffel nos permite pensar en la posibilidad de que pueden existir otros espacios, en general distintos a los euclidianos, en los que el antedicho tensor de curvatura no siempre sea nulo. Espacios que serían más generales que los euclidianos, esto es,espacios de los cuales los euclidianos corresponderían al caso
i

particular en que
Rn ,hk
= 0 .

Estos espacios más generales serían los Espacios de Riemann.

Para definir, por consiguiente, un Espacio de Riemann, hemos de procurar que sus magnitudes y propiedades coincidan con las de los espacios euclidianos, inclusive en lo que respecta al tensor de curvatura. Así, se ha de cumplir lasimetría e inversibilidad de la métrica y la expresión contravariante del elemento diferencial de longitud.

Un espacio de Riemann de n dimensiones es un par constituido por una variedad n-dimensional Vn y una métrica gik.

Una variedad n-dimensional Vn es un conjunto de n variables x1, ..., xn, que pueden representar longitudes, ángulos, etc., y que están definidas en correspondientesintervalos de números reales I1, ..., In.

 g | ... | g  |
 ... | ... | ...  |
 ... | ... | ...  |
 gn1 | ... | g nn  |

i

n

V = {xi / xi ∈ I , i = 1,..., n}

 11
(gik )n =

1n 

Espacio de Riemann:

n

n

n

ik

R = (V , (g ) )

La métrica nos indica la forma de representación de la variedad n-dimensional, esto es, para cada métrica hay unaforma de representación. La distancia entre dos puntos infinitamente próximos, o elemento diferencial de longitud, ds, podemos expresarla, como en los espacios euclidianos por:

dxr 2 = (dxr, dxr ) = (dxi er , dxk er ) = dxi dxk (er , er ) = g

dxi dxk
i k i k ik

o sea

2 i k
ds = gik dx dx

Estoes, en forma desarrollada, significa que

CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 2

CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL

 g ... g 

 11
1n  dx1 



ds2 = (dx1 ,..., dxn ) ...
...
... 


... 



 ...
...
...  dxn 

Cumpliéndose por lo demás que:

jk
 gn1

( )−1...
g

 
nn 

2 j k

g ij
= g ji , g
= g jk
, ds
= g jk dx dx

Y los símbolos de Christoffel pueden definirse, de manera concordante con la expresión que tienen en los espacios euclidianos, por:

1  ∂g jk
∂g ik
∂g ij 

de primera especie:

(ij, k ) = 
2 

∂x i

+

∂x j

−

k


∂x 

de segunda especie:...