Permutaciones

Permutación

1) Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de biología(B) y otro de cálculo(C), y se quiere ver de cuántas maneras se pueden ordenar en un estante.

En principio se puede elegir cualquiera de los 3 para colocar en primer lugar:

|1a |2a |3a |
|A |  |  |
|B |  |  |
|C |  |  |

  Una vez elegido uno de ellos, para ocupar el primer lugar, quedan 2posibles para ubicar

Se ve entonces que hasta ahora hay 3.2 maneras distintas de ordenar los  libros. Pero una vez dispuestos las 2 primeros queda unívocamente determinado cuál debe ser el tercero.

O sea que el número total de maneras posibles de ordenar los 3 libros se puede calcular como: 3.2.1 = 6

Variación

2) Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quierecalcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno.

En un principio se puede elegir cualquiera de los 7 libros para ubicarlo en

Primer lugar Después quedan 6 libros posibles para colocar en el segundo lugar y por último solo 5 libros para el tercer lugar.

Por lo tanto las distintas maneras en que sepueden llenar los 3 huecos de la

biblioteca es: 7.6.5 = 210

Si se tienen n libros y tres lugares es: n.(n - 1).(n - 2)

En general para n libros y k lugares resulta:

n. (n-1). (n-2). ..... .[n- (k-1)]

Con la fórmula: Vn,k = n!/(n-k)! ® V7,3=7!/(7-3)!=7.6.5.4!/4!=7.6.5

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

3) ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BONDAD?

Hay6!/2!

Si se escribe en lugar de BONDAD: BONDAD’

Todas las letras son distintas, luego hay 6! permutaciones, pero cada par de

permutaciones:

- - - D - D’

- - - D’- D

Coinciden, por lo tanto se tiene que dividir por 2 el número total de permutaciones

 

4) ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra AMASAS?

Si a la letras que se repiten se les coloca unsubíndice se tiene

A 1M A 2 S 1 A 3 S2 y el número de permutaciones posibles es P6 = 6!

Que ocurre si sólo se cambian de posición las letras A?

A 1M A 2 S 1 A 3 S2 A 2M A 3 S 1 A 2 S2

A 1M A 3 S 1 A 2 S2 A 3M A 1S 1 A 2 S2

A 2M A 1 S 1 A 3 S2 A 3M A 2 S 1 A 1 S2

Se obtienen tantas maneras distintas de ordenar como permutaciones de 3

elementos (las 3 "A"), cuyo número es P3 =3!

De manera similar si sólo se modifica la posición de la letra "S" se obtienenP2 = 2! maneras de ordenar diferentes.

Pero en cualquiera de los dos casos, siempre se sigue leyendo la misma palabra, es decir, que si se borran los subíndices, no se distingue diferencia alguna.

Se puede encontrar el número de permutaciones –P6 distinguibles o no – haciendo el producto de las distinguibles –que se indican 6 P 2,3 – por las no distinguibles P2 y P3 .

P6 = 6 P2,3 . P2. P3

De esta manera se puede encontrar el número de permutaciones distinguibles:

Combinación

5) Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar guardias. ¿Cuántas ternas se podrán formar?

Se trata de formar todas las ternas posibles, sin repetir elementos en cada una, ysin importar el orden de los elementos.

Si quisiéramos formar todas las ternas posibles, sin repetición de elementos en cada una, para elegir el primer elemento hay 21 posibilidades, para el segundo quedan 20 posibilidades, y para el tercero 19 posibilidades, por lo tanto el número de ternas posibles está dado por: 21* 20*19 = 7980

Pero en este caso cada terna aparece repetida en distintoorden, por ejemplo tendremos: ABC, ACB, BAC, CAB y CBA. Son seis ternas con los mismos elementos, que está dado por el factorial de 3.

Por lo tanto el total de ternas obtenido 7980, hay que dividirlo por 6

7980/6 = 1330

Se pueden organizar las guardias de 1330 maneras diferentes

Este es un problema de combinación. Si llamamos m al número de elementos del conjunto y n al número que...