Petroleo

Simulación Numérica de Yacimientos

3.- formulación Matemática de las Ecuaciones de flujo de fluidos

3.1.- Introducción.

Para entender el flujo de fluidos en medios porosos se debe ser capaz para postular algún sistema de ecuaciones el cual gobierne el comportamiento de estos fluidos. Habiendo desarrollado dicho sistema de ecuaciones, se puede entonces analizar el efecto de lascondiciones variantes sobre el comportamiento de flujo.

Las ecuaciones básicas se obtienen por la combinación de varios principios físicos como:

1. Conservación de masa.

2. Conservación de Momentum.

3. Conservación de Energía (1era. Ley de la Termodinámica).

4. Ecuaciones de flujo—Ley de Darcy.

5. Ecuaciones de Estado.



Las ecuaciones gobernantes juntocon las condiciones iníciales y de frontera forman el modelo matemático para el sistema.




Para resolver este modelo matemático es necesario determinar los valores de los parámetros independientes los cuales satisfacen todas las ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera simultáneamente. En general, se tiene dos alternativas: métodos analíticos y métodos numéricos. El primero nose utiliza debido a que las ecs. gobernantes son altamente no lineales y son imposible su solución por los métodos teóricos existentes. Los métodos numéricos son los más adaptables para resolver este tipo de ecuaciones.
















REVISIÓN DE LA DERIVACIÓN.

El proceso involucrado en la derivación de muchas de estas ecuaciones consiste de los pasos siguientes:1. Seleccione un volumen elemental del sistema.









AREAL 3-D


















RADIAL ESFERICO



2. Escriba todos los flujos que entran y salen del volumen elemental sobre un intervalo de tiempo, manteniendo una estricta convención de signos.











3. Iguale los flujos a los cambios dentro delsistema durante este tiempo ie., conserve la masa dentro del sistema.

4. Tome el límite sobre un instante conforme el volumen elemental disminuye a un tamaño infinitesimal. Esto involucra:



Lim Δt 0

Δx 0



5. La ecuación diferencial resultante es la ecuación gobernante requerida.



El proceso total involucra en fijarlas ecuaciones de simulación como se resume en la manera siguiente:

o Revisión del proceso.

o Ley de Darcy.

o Conservación de Masa.

o Flujo de tres fases.

o Ecuaciones de Presión y Saturación.





FLUJO DE UNA SOLA FASE

La ecuación que gobierna el flujo de una sola fase a través de un medio poroso se desarrolla por la combinación de lo siguiente:I. Conservación de Masa.

II. Ecuación de flujo (Darcy).

III. Ecuación de Estado.



I. Conservación de Masa: considere un elemento de un yacimiento a través del cual está fluyendo una fase en la dirección X.

Del principio de conservación de Masa se tiene:




Masa que Masa que Acumulación

entra sale de Masa




*El flujo de masapor unidad de superficie es igual a la velocidad multiplicada por ρ*




[pic]




Dividiendo la ecuación 1 entre [pic] se tiene:




[pic]




Tomando límites cuando Δx y Δt tienden a cero se obtiene:




[pic]







Masa que Masa que

entra sale




Balance de Masa sobre el volumen elemental.La cara Δy, Δz es perpendicular al flujo en la dirección X, por eso se toman las masas en “y” y “z”.



Esta es la ecuación de continuidad en un sistema lineal similarmente:

[pic]

[pic]




La ecuación de continuidad establece que la masa dentro de un sistema permanece constante con el tiempo.




Entonces para el flujo en tres dimensiones se tiene:

[pic]...