Poligonos

oonPolígonos regulares

1

POLIGONOS REGULARES DEFINICION: Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y sus ángulos congruentes. DEFINICION: Un polígono esta inscrito en una circunferencia si sus vértices pertenecen a la circunferencia y sus lados son cuerdas de la circunferencia. DEFINICION: Un polígono es circunscrito a una circunferencia si tiene sus lados tangentes a lacircunferencia.

Todo polígono regular puede inscribirse en una circunferencia ANGULO CENTRAL DE UN POLIGONO INSCRITO: Es el ángulo formado cuando se une el centro del polígono con dos vértices consecutivos En un polígono regular de n lados el ángulo central mide 360º/n La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180º(n-2) 180º (n 2) Un ángulo interior de un polígono regular midedonde n es el numero de lados. n APOTEMA: Es la altura de un triangulo formado por el centro del polígono regular y dos vértices consecutivos. ABCDEF es un hexágono regular inscrito en la circunferencia de centro O. 360º m(AOB) 60º AOB es un ángulo central 6 Suma de los ángulos interiores: 180º 6 2 720º
720º 120º 6 En el hexágono se cumple que el radio de la circunferencia circunscrita es igual allado del hexágono: R AB OH a es la apotema.

Medida de un ángulo interior:

TEOREMA El valor del lado de un triangulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio R es igual a R 3 HIPOTESIS: ABC es equilátero O es el centro de la circunferencia AB BC CA l TESIS: l
R 3

Polígonos regulares

2 1. Definición de circuncentro 2. En un triangulo equilátero la mediatriz es tambiénbisectriz 3. De 2. Los ángulos de un triangulo equilátero miden 60º 4. Esta inscrito en una semicircunferencia 5. De 4 y 3. Teorema 30 – 60 – 90

1. El circuncentro es el punto donde se cortan las mediatrices. CD es mediatriz y también es diámetro 2. CD es bisectriz de  ACB 3. m (  ACD) = 30º 4.  CAD es recto

CD R 2 2 CD 2 AD 2 6. AC 5. AD

l2

2R

2

R2

3R 2

l

R 3

6. Teoremade Pitágoras

NOTA: Si unimos los puntos medios de cada arco determinado por un triangulo equilátero inscrito en una circunferencia, obtenemos un hexágono regular inscrito y como AD = R, el lado de un hexágono regular es igual al radio de la circunferencia circunscrita. Las uniones deben hacerse con los vértices del triangulo.

TEOREMA El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia esigual a R 2

1. AB BC CD DA 2. m (arco AB) = m (arco BC) = m (arco CD) = m (arco DA) 3. m (arco AB) = 90º 4. m (  AOB) = 90º 5. AOB es rectángulo 2 R2 R2 l R 2 6. l

1. De hipótesis. Definición de cuadrado 2. De 1. Por tener cuerdas congruentes 3. De 2. Una circunferencia tiene 360º 4. De 3. Por ser un ángulo central 5. De 4. Definición de triangulo rectángulo 6. De 5. Teorema de PitágorasPolígonos regulares

3

EJERCICIOS 1. Calcular la altura de un triangulo equilátero en función del radio de la circunferencia circunscrita al triangulo. 2. Calcular la apotema del triangulo equilátero inscrito en función del radio 3. El lado de un triangulo equilátero inscrito mide 24 centímetros. Calcular a) La apotema. b) el radio de la circunferencia c) la altura del triangulo. 4. Calcularla apotema del cuadrado inscrito, en función del radio de la circunferencia circunscrita 5. La apotema de un cuadrado inscrito, en función del radio de la circunferencia circunscrita 6. Sea l el lado de un octágono regular inscrito en una circunferencia de radio R, demostrar que el lado es igual a R 2

2

7. Calcular en función del radio la apotema de un hexágono regular inscrito en unacircunferencia de radio R. 8. La apotema de un hexágono regular inscrito mide 20 centímetros. Calcular el radio y el lado del hexágono 9. Calcular la apotema de un octágono regular de lado l inscrito en una circunferencia de radio R, en función de R. 10. La apotema de un octágono regular inscrito mide 0.25 metros. Calcular el radio y el lado del octágono 11. El lado de un cuadrado circunscrito a una...