Polinomio De Newton

Newton hacia adelante
Como los denominadores de las diferencias divididas siempre van a ser kh , k=1,2,…,n , podemos redefinir las diferencias divididas:

(9)
Δ0 f 0 Δ 1 f 0 Δ n f 0 = = = f 0 =f(x 0 ) f 1 −f 0 Δ n−1 f i+1 −Δ n−1 f i Entonces el polinomio queda

(10)
P n (x 0 +ht)=Δ 0 f 0 +Δf 0 t+Δ 2 f 0 2!t(t−1)+⋯+Δ n f 0 n! t(t−1)(t−2)⋯(t−n+1) Esto también se puede escribir asi:

(11)
P n (x)=∑ k=0 n (t k )Δ k f 0 donde t=(x−x 0 )/h .

Newton hacia atrásHacemos algo parecido al caso anterior, pero ahora resulta que:

(12)
∇ 0 f i ∇ 1 f i ∇ n f i = = = f i f i −f i−1 ∇ n−1 f i −∇ n−1 f i−1 El polinomioqueda:

(13)
P n (x)=∑ k=0 n (t+k−1 k )∇ k f n con −k≤t≤0 .

Nótese que el caso hacia adelante usa fuertemente los datos de la primera fila de la tabla, y aquílos del último. Esto puede convenir para reordenarlos si se sabe donde están los menos confiables.

Relación entre diferencias hacia adelante y hacia atrás
(14)∇ n f j =Δ n f j−1 Splines
Cuando se tienen muchos puntos como dato no resulta práctico tener un polinomio del grado de la cantidad de datos. Entonces lo que sehace es tomar de a n+1 puntos, interpolarlos con polinomios de grado n y luego unir los extremos de los polinomios. En general se lo hace tomando de a 4 o máspuntos (polinomios de grado 3).

La función Spline S(x) cumple:

•Interpola de a tramos
•Los extremos de los polinomios coinciden
•Coinciden la derivada primera ysegunda de los polinomios
•Uno de los siguientes:
◦S ′′ (x 0 )=S ′′ (x n )=0 , es decir, su frontera es libre
◦S ′ (x 0 )=f ′ (x 0 ) y S ′ (x n )=f ′ (x n )