Portafolio Calculo 2014

Portafolio Cálculo Integral

Presentado por:
Bryan Andrés Aguilar Suarez
Juan Manuel Soto Acosta

ID:
269 685
269 755

Presentado a:
Guillermo Cadena

Universidad Pontificia Bolivariana
Seccional: Bucaramanga
2° semestre - 2014

CONTENIDO:
1: Anti derivada
2: Integración por sustitución
3: Integración por partes
4: Integración por sustitución trigonométrica
5: Integrales trigonométricas
6:Integración por fracciones parciales
7: Integrales definidas por concepto de límites y sumatorias
8: Integrales inmediatas
9: Integrales por teoremas
9.1 : Suma de PUNTO MEDIO; PUNTO DERECHO Y PUNTO
IZQUIERDO
9.2: TRAPECIO
9.3: SIMPSON
10: Longitud de arco
11: Solido de revolución
12: Integral impropia

Anti derivada
Es lo opuesto de la derivada, es como devolverse de la derivada hacia la
función,para saber si una integral quedo bien lo único que hay que hacer es
derivarla, al hallar la anti derivada a la función le aparece un C que significa,
que hay infinidad de funciones que tienen la misma derivada.

Integrales Inmediatas
Son aquellas integrales que se pueden hacer directamente de la forma de la
forma ∫ 𝑎𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =

𝑎𝑥 𝑛+1
𝑛+1

, es la que más rápido se puede hacer y la más fácil

deoperar, a veces los cálculos pueden ser mentales.
Ejercicios:
1)
3

∫(𝑥 + 2)𝑑𝑥

∫ 𝑥 3 𝑑𝑥+∫ 2𝑑𝑥
𝑥4
4

+2𝑥 + 𝑐

2)∫ √𝑥 +

1
2√𝑥

𝑑𝑥

∫ 𝑥 1/2 𝑑𝑥 + ∫

1
𝑑𝑥
2 ∗ 𝑥 1/2

𝑥 3/2 1
1
+ ∫ 1/2 𝑑𝑥
3
2 𝑥
2

1
2𝑥 3/2 1
+ ∗ 2𝑥 2 + 𝑐
3
2

3)∫ 𝑥 5 + 𝑥 3/4 + 𝑥 2/5 𝑑𝑥
𝑥 6 4𝑥 7/4 5𝑥 2/5
+
+
+𝑐
6
7
2

Sustitución simple
Este método se utiliza cuando no se puede utilizar la ecuación general de las
integrales inmediatas, eneste método se hará una sustitución o cambio de
variable creando así la constante U que al sustituir en la función original, la
nueva sea más fácil que la original, al haber acabado de integrar se vuelve a
sustituir U por los valores que le habíamos dado para así terminar la
integración, no hay forma de identificar cuando usar este tipo de integración.
Ejercicios:
𝑥2

1)∫ 3 𝑑𝑥
√𝑥 +3
U=𝑥 3 + 3
Du=3𝑥 2 𝑑𝑥
3𝑥 2 𝑑𝑥
∫
3𝑈1/2
∫

𝑑𝑢
3𝑈1/2

1
∫ 𝑈 −1/2 𝑑𝑢
3
2𝑈 1/2
3

+𝑐 →

2
3

1

(𝑥 3 + 3)2 + 𝑐

2) ∫

𝑑𝑥
𝑥(4+𝑙𝑛2 𝑥)

𝑑𝑢

1

→∫
→ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
4+𝑢2
2

𝑙𝑛𝑥
2

+𝑐

U=lnx
Du= dx/x
3)∫

𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑥

→∫ 𝑙𝑛𝑥

𝑑𝑥
𝑥

U=lnx
Du=dx/x
4)∫ 𝑥(2 + 𝑥 2 )2 𝑑𝑥
𝑢 = 2 + 𝑥2
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
1
∫ 𝑢2 𝑑𝑢
2
1 𝑢3
( )+𝑐
2 3

𝑢3
(2 + 𝑥 2 )3
+𝑐 =
+𝑐
6
6

5)

→∫ 𝑢𝑑𝑢→

𝑢2
𝑢

𝑙𝑛𝑥 2

+ 𝑐→

2

+𝑐

Integral por partes
Este método nos permite hacer laintegración de dos funciones, se usaran
dos sustituciones que posteriormente serán sustituidas en la ecuación de las
integrales por partes ∫ 𝑢 ∗ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∗ 𝑣 − ∫ 𝑣 ∗ 𝑑𝑢 teniendo así que la
segunda parte de la integral sea inmediata o sea mucho más sencilla de
integrar que la primera parte, en este caso tampoco hay forma de identificar
si usar este tipo de integración.
Ejercicios:
1)∫ log(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥
U=log (ax+b)
Du=

dv=dx

𝑎

v=x

𝑎𝑥+𝑏

log(𝑎𝑥 + 𝑏) ∗ 𝑥 − ∫ 𝑥 ∗

𝑎
𝑎𝑥+𝑏

𝑥 ∗ log(𝑎𝑥 + 𝑏) − ∫ 1 −

𝑑𝑥 →𝑥 ∗ log(𝑎𝑥 + 𝑏) − ∫

𝑏
𝑎𝑥+𝑏

dv=𝑒 𝑥

Du=dx

v=𝑒 𝑥

𝑥𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥→ 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑐
𝑒 𝑥−1 + 𝑐
3)∫ 𝑥 2 ln 𝑥 𝑑𝑥
U=lnx
1

Du= 𝑑𝑥
𝑥

dv=𝑥 2
v=

𝑥3
3

𝑎𝑥+𝑏
𝑏

𝑑𝑥

𝑑𝑥→𝑥 ∗ log(𝑎𝑥 + 𝑏) − 𝑥 + log(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐

2)∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥
U=x

𝑎𝑥+𝑏−𝑏

𝑎

ln 𝑥 ∗
1
3

𝑥3
3

−∫

𝑥3
3

1

+𝑐

4)
∫ 𝑥 2 √𝑥 + 1 𝑑𝑥
𝑢 =𝑥+1
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣= 𝑥 2 𝑑𝑥
𝑥3
𝑣=
3
(𝑥 + 1)

𝑥3
𝑥3
−∫
𝑑𝑥
3
3

𝑥4 𝑥3
𝑥4
+ −( )+𝑐
3
3
12
𝑥4 𝑥3
+ +𝑐
4
3

5)

𝑥3

1

𝑥3

1

∗ 𝑑𝑥 → 𝑙𝑛𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 → 𝑙𝑛𝑥 − ∗
𝑥
3
3
3
3

𝑥3
3

+ 𝑐→

𝑥3
3

(𝑙𝑛𝑥 −

Sustitución trigonométrica
Son aquellas integrales que contienen un polinomio de segundo grado dentro
de una raíz, que se pueden volver directas o se pueden volver de una forma
para que resolverlas sea mucho mas sencillo, paraque esto suceda los
polinomios tienen que ser de la forma: √𝑎2 − 𝑢2 en este caso se sustituiría
por a*sen (u), √𝑎2 + 𝑢2 en este caso se sustituiría por a*tan (u), √𝑢2 − 𝑎2 y
en este último caso se sustituiría por a*sec (u).
Ejercicios:
(√3 sin 𝑥)2
√3 cos 𝑥
√3−𝑥
√3 cos 𝑥
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
3
3

1)

𝑥 2 𝑑𝑥

→
2

∫3∗

𝑥

𝑑𝑥 →

3𝑠𝑒𝑛2 𝑥∗√3 cos 𝑥 𝑑𝑥
√3𝑐𝑜𝑠𝑥

→3𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑑𝑥 =

𝑑𝑥= ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥
2
2

U=2x
Du=2dx...