postulados de Euclides

Introducción.
Nacido en el siglo 300 a.C., fue el matemático más famoso de todos los tiempos a pesar del hecho que poco se sabe de su vida, y lo poco que se sabe es gracias a un historiador griego llamado Proclo. Se sabe que enseño en Alejandría, Egipto.
Los elementos de Euclides, un trabajo introductorio a la geometría elemental y otros tópicos, y otros trabajos de su género a tal magnitudque ahora se saben sólo por referencia indirecta. Los elementos empiezan por definiciones, postulados, y axiomas, incluso el famoso quinto postulado que una y solo una línea recta puede ser dibujada a través de un punto a una paralela dada.
La decisión de Euclides de hacer de esta suposición indemostrable lo llevó a la geometría euclidiana. No fue hasta el siglo XIX que se modificó el quintopostulado para desarrollar la geometría no-euclideana. Los elementos se dividen en 13 libros. Los primeros 6 son sobre la geometría plana; los libros del 7 al 9 son sobre la teoría del número; el libro 10 se trata de la teoría de Eudoxus y del 11 al 13 sobre la geometría sólida, finalizando con una discusión de las propiedades de los cinco poliedros regular y una prueba de que pueden haber más que estoscinco. Los elementos de Euclides son notables por la claridad con que los teoremas y problemas son seleccionados y ordenados.
Las proposiciones proceden lógicamente y rigurosamente. Euclides no es conocido por haber hecho descubrimiento muy originales y los elementos se basan en el trabajo de sus predecesores, se asume que alguna son suyas propias y que es responsable por su excelente arreglo.Sobre miles de ediciones de su trabajo se ha publicado desde la primera impresión en 1482.
Los otros trabajos incluyen datos, en divisiones de figuras, phaenomena, ópticas, sitios de la superficie, porisms, la sección cónica, libro de falacias y elementos de música. Solo los primeros cinco sobreviven.
Quinto postulado de Euclides:
El libro de la geometría (y podemos decir de las matemáticas)más importante es sin duda “Elementos” y su autor es Euclides. Este libro se utilizaba hasta hace poco en Inglaterra como libro de texto. El quinto postulado de Euclides es una de las cuestiones matemáticas más controvertidas de la historia de las matemáticas.
Euclides parte de 23 axiomas (axioma es una proposición tan clara y evidente que no necesita demostración) y 5 postulados (postulado es unaproposición no evidente que se admite sin probar) y demuestra muchos teoremas (teorema es una proposición no evidente que se demuestra a partir de los axiomas y postulados).
El quinto postulado dice: que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el lado en el que están (ángulos)menores que dos rectos.
Esta formulación, que original es confusa por lo que se suele enunciar el quinto postulado de esta forma: “por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una paralela a dicha recta.
El quinto postulado de Euclides afirma dos cosas: la existencia de una recta que pasa por el punto y que es paralela a la recta dada; y que esta recta es única.
Por lo tanto elquinto postulado puede negarse totalmente o negar sólo la segunda parte.
El quinto postulado de Euclides es muy famoso. Muchos matemáticos han tratado de demostrar con teoremas, pero no han conseguido (y no conseguirán). Saccheri (1667-1733), Lambert (1728-1777), Legendre y Gauss fueron algunos de los matemáticos que estudiaron el postulado.
El primero en sospechar fue Gauss pero no se atrevióa publicar nada.
Lobachewski (1792-1856) matemático ruso formulo una nueva geometría (en su libro Nuevos elementos de la geometría en 1855) partiendo del postulado de que por un punto exterior a una recta se pueden trazar más de una paralela a ella, demostró que el quinto postulado no se puede probar y que la geometría que se desarrolla, partiendo de este nuevo quinto postulado es consistente....