Postulados

Postulado I. Marco matemático.
Postulado I
Cada sistema cuántico se estudiará con un espacio de Hilbert H complejo, separable y equipado.
Al margen de consideraciones topológicas, un espacio de Hilbert separable es un espacio vectorial V en donde se puede definir un producto escalar y una base lineal finita o infinita numerable (base de Hamel).
El concepto de equipación del espacio se escapade los objetivos de estos apuntes. Baste decir que se puede consultar en los trabajos del matemático ruso Israel Gelfand y que nos permitirá incluir una serie de funciones generalizadas debidas a Dirac.
Espacio dual. Notación de Dirac.
Según esta notación, los vectores de H se llaman vectores ket y se denotan con |Ψ >. También se define un espacio dual H', isomorfo al anterior, en el quecada vector de H es tratado como un funcional lineal Φ de H' de tal forma que a cada elemento de H le asocia un escalar. A estos vectores se los denomina vectores bra, y se denotan como <Φ|:

y, lógicamente, en esa definición se asume que se usará el producto escalar definido en cada espacio de Hilbert.
Habitualmente en espacios discretos los vectores ket son vectores columna y los vectores brason vectores fila. En ese sentido, se puede ver que, así como un ket por un bra es un c-número o simple número complejo (por usar términos de Dirac), un vector ket por un bra será un q-número u operador, y si ambos coinciden en el primer caso obtendremos la unidad y en el segundo el proyector sobre ese vector.
Cierre del espacio de Hilbert.
En cada espacio de Hilbert podemos definir una baseortonormal | i > de forma que < i | j >=δij, usando la delta de Kronecker o de Dirac dependiendo del caso discreto o continuo.
Con esta base podemos definir la relación de completitud o de cierre del Hilbert usando la descomposición de la identidad

de modo que cualquier vector arbitrario |v > del espacio pueda desarrollarse en esa base:

Operadores lineales.
Sobre los vectores delespacio de Hilbert definiremos operadores lineales A, que cumplen:

y que normalmente usaremos por medio de sus representaciones matriciales en cada base:

La traza de un operador lineal en una base dada será pues:

Cuando al aplicar un operador sobre un vector obtenemos:

diremos que |v > es autovector de A con autovalor v. Es conocido por álgebra que los autovalores se hallanigualando a cero el llamado polinomio característico P(v)=|A-vI|=0, que no depende de la representación elegida.
El operador tendrá una representación diagonal en sus autovectores ortonormales, si los hubiera:

Se define el operador adjunto A+ de A a aquel que cumple:

Un operador es hermítico o autoadjunto cuando coincide con su adjunto (ejemplos claros son los proyectores o la identidad). Es muyfácil demostrar que los autovalores de un operador autoadjunto son reales.
Un operador U es unitario si se cumple que U+U=I, lo que implica también que UU+=I. Estos operadores son isometrías, es decir, conservan los productos escalares y son por tanto los indicados para describir las evoluciones reversibles:

Los operadores unitarios y autoadjuntos forman parte de un conjunto mayor, losoperadores normales, que cumplen N+N=NN+.
Los operadores normales tienen la particularidad de que siempre se puede encontrar una base de autovectores ortonormal, es decir, serán diagonales en esa base. Esto constituye un teorema de descomposición espectral que por su importancia vamos a demostrar a continuación.
Teorema de descomposición espectral
Cualquier operador normal N sobre un espacio de HilbertH es diagonal respecto a alguna base ortonormal de H
Dem: El hecho de que un operador con representación diagonal es normal es muy fácil de demostrar, así que nos vamos a detener en la demostración de la implicación directa, es decir, vamos a probar que cualquier operador normal tiene una representación diagonal.
La demostración se suele hacer por inducción sobre la dimensión del Hilbert....