Pozo Potencial

Tarea 1 Mec´anica Estad´ıstica
Alonso A. Tobar
a

a *

Departamento de F´ısica, Universidad de Santiago de Chile, 12 de Febrero 6145, Santiago, Chile

1 de septiembre de 2014

1.- Lorenzobtuvo un sistema de tres ecuaciones diferenciales no homog´eneas para sus estudio
de convecci´on en la atm´
osfera, esto describen el sistema ca´otico atmosf´erico.
dx
= σ(y − x)
dt
dy
= x(r −z) − y
dt
dz
= xy − bz
dt

(1)
(2)
(3)

Donde σ, r, b > 0 y σ es el n´
umero de Prandt, r es el n´
umero de Rayleigh y b no tiene noEstas
ecuaciones son no lineales debido a los productosxy, xz que aparecen en ellas, su tratamiento es
n´
umerico. Lorenz integr´
o estas ecuaciones considerando σ = 10, r = 83 y b = 28.

*

e-mails: alonso.aguirre@usach.cl

1

0.-

1
L = T− U (x) = m(x˙ 2 + y˙ 2 ) − mgy
2
d ∂L
= m¨
x
dt ∂ x˙

(4)
(5)

∂L
=0
∂x
d ∂L
= m¨
y
dt ∂ y˙

(6)
(7)

∂L
= −mg
∂y

(8)

Resolviendo las ecuaciones de euler lagrange, yaque son ecuaciones de variables separables:
x˙ = α

(9)

d
y˙ = −g
dt
x = x0 + v0y t
1
y = 70 + v0y t − gt2
2

(10)
(11)
(12)
(13)

y = At2 + Bt + C

(14)

2

x = DT + F t + GJ=

[

(15)
At3

Bt2

m
m
(2At + B)3 +
(2Dt + F )3 − mg(
+
+ Ct)]dt
12A
12D
3
2

(16)
(17)

El principio de acci´
on m´ınima del Lagrangiano es δJ = 0.
11.- Lastransformaciones preservan la distancia Euclidiana son las rotaciones.
x = xcos(θ) + ictsin(θ)

(18)

ct = −xsin(θ) + ictcos(θ)

(19)
(20)

Hacemos el cambio de variables θ = iψ
x = xcosh(ψ) + ctsinh(ψ)(21)

ct = xsinh(ψ) + ctcosh(ψ)

(22)
(23)

s’ se desplaza con velocidad V respecto de s a lo largo del eje x, el origen de s’, x’=0 corresponde
x = V t entonces,

2

V
c
−V /ctanh(ψ) = −
sinh(ψ) =

(24)
(25)

1 − (V /c)2
1

cosh(ψ) =

(26)

1 − (V /c)2

(27)
Con estas transformaciones hay 10 grados de libertad, 3 de rotaci´on, 3 de ´ımpetu, 4 de translaci´...