practica



Indice
CAPITULO 1. Introducci´on a la Teor´ıa de N´umeros 5
1. Los N´umeros Naturales y los N´umeros Enteros 5
2. Divisibilidad 7
3. Congruencias 14
4. Clases Residuales 21
CAPITULO 2. Polinomios 27
1. Polinomios sobre los Racionales y los Enteros 27
2. Divisibilidad 28
3. Irreducibilidad sobre los Racionales. El Criterio de Eisenstein 32
4. Teorema de Factorizaci´on Unica 36
5.Irreducibilidad sobre los reales y los complejos 39
CAPITULO 3. Anillos 43
1. Definiciones y Ejemplos 43
2. Subanillos e Ideales 48
3. Homomorfismos e Isomorfismos 55
CAPITULO 4. Cuerpos 61
1. Definiciones y Ejemplos 61
2. Cuerpo de Cuocientes 62
3. Caracter´ıstica de un Cuerpo 65
4. Extensiones Simples de Q 67
5. Obtenci´on de Raices de Polinomios sobre Q 71
CAPITULO 5. Grupos 75
1.Definiciones y Ejemplos 75
2. Permutaciones, Isometr´ıas, Simetr´ıas. 81
3. Subgrupos y el Teorema de Lagrange 98
4. Grupos C´ıclicos 104
5. Subgrupos Normales 105
6. Homomorfismos 107
Bibliograf´ıa 113
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CAPITULO 1
Introducción a la Teoría de Números
La Teor´ıa de N´umeros, al menos originalmente, es la rama de la matem´atica
que estudia las propiedades de los n´umeros naturales 1; 2;3; : : : . A poco andar uno
descubre que este estudio no se confina a dicho conjunto de n´umeros, ni siquiera al
conjunto de los n´umeros enteros : : : ;€3;€2;€1; 0; 1; 2; : : : , sino que muchas veces
se debe recurrir a otros conjuntos de n´umeros, algebraicos, reales, complejos, etc.
para resolver asuntos relacionados con los numeros naturales (y viceversa).
Algunos problemas cl´asicos dela Teor´ıa de N´umeros como el llamado ´ultimo
teorema de Fermat o el de la distribuci´on de los n´umeros primos, (ver m´as adelante)
han dado origen a grandes desarrollos de la matem´atica. Por ejemplo, al primero de
estos se debe gran parte del desarrollo de los cuerpos ciclot´omicos, al segundo todo
el desarrollo de la funci´on zeta de Riemann. Es as´ı que en la Teor´ıa de N´umeros
modernase emplean sofisticadas te´cnicas de an´alisis matem´atico y de teor´ıa de
probabilidades. Estudiaremos aqu´ı tan s´olo los rudimentos de esta disciplina y
haremos algunos alcances acerca de su relaci´on con la llamada ´algebra abstracta.
1. Los N´umeros Naturales y los N´umeros Enteros
Comenzaremos nuestro estudio suponiendo que el lector est´a familiarizado con
los conjuntos
Z = f: : :;€3;€2;€1; 0; 1; 2; : : : g y
N = f1; 2; 3; : : : g;
de los n´umeros enteros y de los n´umeros naturales (o enteros positivos), respec-
tivamente. En particular supondremos conocimiento de las operaciones de suma
y multiplicaci´on as´ı como de la estructura de orden sobre estos conjuntos, por lo
tanto, no daremos una definici´on axiom´atica de ellas.
La propiedad m´as importante de los n´umerosnaturales es el siguiente principio:
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PRINCIPIO DE BUEN ORDEN
Todo conjunto no vac´ıo de n´umeros naturales tiene un menor
elemento.
Decimos que N es un conjunto Bien Ordenado. Intuitivamente, este sencillo
principio nos dice que siempre puedo encontrar el m´as peque˜no n´umero natural
tal que ......, donde la l´ınea de puntos puede ser llenada por cualquier propiedad
(siempre que existaal menos un n´umero natural que verifique dicha propiedad).
Como consecuencia de esto, por ejemplo, podemos probar que todo n´umero natural
n tiene un (´unico) sucesor, o sea, el n´umero que le sigue en el orden natural. (Esto
ya lo sabemos: el sucesor de n es n + 1). Para demostrarlo, basta considerar el
conjunto no vac´ıo de los n´umeros naturales estrictamente mayores que n y aplicar
elPrincipio de Buen Orden. El menor elemento de ese conjunto es el sucesor de n.
Cabe hacer notar que este menor elemento de un conjunto no vac´ıo A cuya
existencia garantiza el Principio es ´unico ya que si hubiera dos, digamos a y b,
entonces a . b, ya que a es el menor elemento de A y b 2 A. Similarmente, b . a,
por lo tanto a = b. Tampoco est de m´as recalcar que, a diferencia del infimo de...