practica

Álgebra Lineal
Ma1010
Vectores de Coordenadas y Cambio de Base
Departamento de Matemáticas

ITESM

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base

Álgebra Lineal - p. 1/26

Introducción
En este tema se presenta el concepto de vector de
coordenadas.

´
Introduccion
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y

Rn
Teorema 1Teorema 2
Matriz de
´
Transicion
Teorema 3
Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base

Álgebra Lineal - p. 2/26

Introducción
En este tema se presenta el concepto de vector de
coordenadas. Este concepto surge de la
necesidad de introducir nuevos sistemas
coordenados

´
Introduccion
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4Ejemplo 5
Coordenadas y

Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
´
Transicion
Teorema 3
Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base

Álgebra Lineal - p. 2/26

Introducción
En este tema se presenta el concepto de vector de
coordenadas. Este concepto surge de la
necesidad de introducir nuevos sistemas
coordenados o sistemas coordenados que mejor
se adapten a una situación.

´Introduccion
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y

Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
´
Transicion
Teorema 3
Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base

Álgebra Lineal - p. 2/26

Vector de coordenadas
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con
base B = {v1 , . . . , vn }.

´
Introduccion
Vectorde
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y

Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
´
Transicion
Teorema 3
Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base

Álgebra Lineal - p. 3/26

Vector de coordenadas
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con
base B = {v1 , . . . , vn }. Según un teorema
anterior, para cada v ∈ Vexisten escalares únicos
c1 ,. . . ,cn tales que:
v = c1 v 1 + · · · + cn v n

´
Introduccion
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y

Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
´
Transicion
Teorema 3
Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base

Álgebra Lineal - p. 3/26

Vector de coordenadas
Sea V un espaciovectorial de dimensión finita con
base B = {v1 , . . . , vn }. Según un teorema
anterior, para cada v ∈ V existen escalares únicos
c1 ,. . . ,cn tales que:
v = c1 v 1 + · · · + cn v n
n

El vector en R cuyas componentes son los
coeficientes de v, expresado como [v]B , se
llama vector de coordenadas o vector
coordenado de v con respecto a B:


c1


[v]B =  ... 

´Introduccion
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y

Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
´
Transicion
Teorema 3
Ejemplo 6

cn

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base

Álgebra Lineal - p. 3/26

Nota

Observe que [v]B se modifica cuando cambia la
base B.

´
Introduccion
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y

Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
´
Transicion
Teorema 3
Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base

Álgebra Lineal - p. 4/26

Nota

Observe que [v]B se modifica cuando cambia la
base B. También [v]B depende del orden de los
elementos de B.

´
Introduccion
Vector de
Coordenadas
Comentarios
Ejemplo 1Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Coordenadas y

Rn
Teorema 1
Teorema 2
Matriz de
´
Transicion
Teorema 3
Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base

Álgebra Lineal - p. 4/26

Nota

Observe que [v]B se modifica cuando cambia la
base B. También [v]B depende del orden de los
elementos de B. Mantendremos fijo este orden
usando siempre una base ordenada:

´...