Precalculo unidad 1

MODULO PRECALCULO

PRIMERA UNIDAD
Relaciones y Funciones
Los matemáticos no estudian los objetos, sino las relaciones entre los objetos; por tanto les es indiferente reemplazar estos objetos por otros, con tal que no cambien las relaciones. Henri Poincaré

1.1 Coordenadas de un punto en el plano cartesiano.
Objetivos. a) Determinar un sistema de ejes coordenados. b) Localizar puntos en elplano cartesiano. c) Calcular la distancia entre dos puntos del plano d) Determinar el punto medio entre dos puntos del plano. En el curso de Matemática Básica se estudiaron los números reales y su representación en la recta numérica, después se continuó con el álgebra en una indeterminada o variable, es decir el estudio se concretó a la primera dimensión. Ahora, en esta unidad, los temas atratarse se referirán a la segunda dimensión: el plano. Se estudiarán las relaciones y ecuaciones en dos variables con sus gráficas en el plano. El tema de mayor relevancia serán las funciones. Palabra ésta de mucho uso en nuestro lenguaje familiar, porque siempre estamos relacionando causa y efecto. Por ejemplo, nuestras calificaciones dependen de la dedicación al estudio, nuestro peso de la cantidadde alimentos que comamos, etc. Para poder realizar estos estudios se necesitan conocimientos previos y básicos, de manera que comenzaremos con definiciones, como sistema de ejes coordenados, pareja ordenada,...

Sistema de Ejes Coordenados Rectangulares o Cartesianos.
Un sistema de ejes coordenados rectangulares o cartesianos consiste de dos rectas o dos ejes perpendiculares, que se cortan en elpunto (0,0) llamado origen del sistema de coordenadas. A la recta horizontal se le llama Eje X y a la recta vertical se le llama Eje Y. El plano geométrico queda dividido en cuatro cuadrantes, en el orden como se muestra en la figura: I, II, III y IV. Se dice, por ejemplo, primer cuadrante, segundo cuadrante,..

II

I

III

IV

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En cada eje o recta serepresentan los números reales a escala. En los semiejes de la derecha y de arriba (del origen), que limitan el primer cuadrante, se representan los números positivos; y a la izquierda y abajo del origen, se representan los números negativos.

Y

y

P (x,y)

x

X

Con el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares se representan o localizan puntos en el plano, asignándole una pareja opar ordenado de números reales (x, y) a cada punto. La perpendicular bajada del punto P al Eje X determina el valor de x, y la perpendicular trazada de P al Eje Y determina el valor de y. Los valores x, y se leen sobre sus respectivos Eje X y Eje Y.

Los números ordenados x, y, que componen la pareja (x,y), son llamados las coordenadas del punto P representado en el plano; se denota por P(x, y),y se lee "el punto P de coordenadas x, y". Además, al valor de x, primera componente de la pareja, se le llama la abscisa de P, y al valor de y, segunda componente de la pareja, se le llama la ordenada de P. Además, toda pareja ordenada de números reales representa un punto en el plano, y todo punto del plano se nombra o denota por medio de una pareja ordenada de números reales o coordenadas delpunto. Hay una correspondencia uno a uno entre parejas y puntos del plano.

Ejemplos: Sean los puntos A, B, C y D representados en el plano cartesiano
A C

1 2 3 D B

El punto A con coordenadas 5 y 3, se denota por A (5,3), su abscisa es 5 y su ordenada 3. Los demás puntos se denotan así: B (3, -3), C(-4,2) y D(-2, -2). Cada punto está ubicado en distinto cuadrante. A está en el primercuadrante, tiene ambas componentes positivas; D en el III cuadrante, ambas componentes son negativas; y C y B en el II y IV cuadrantes respectivamente, cada uno tiene sus componentes con signos opuestos o contrarios.

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2 Producto Cartesiano ℜ x ℜ = ℜ 5. Se llama producto cartesiano ℜ x ℜ o ℜ al conjunto

de parejas ordenadas de números reales x, y. La pareja o par ordenado (x,y) es un elemento...