Primera y segunda derivada

Definición de Derivada
Primero debemos recordar la definición de los que es una derivada: La derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medidaque su entrada (valor de la variable independiente) cambia. Sabiendo eso y las propiedades de la derivada podemos proseguir al criterio de la segunda derivada.
Segunda DerivadaEl Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximosy mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba debe de tener un mínimo relativo. De manera similar, si la gráfica de unafunción es cóncava hacia abajo debe de tener un máximo relativo de. La segunda derivada se escribe como la doble prima de f
Teorema
Sea una función tal que y cuya segunda derivadaexiste en un intervalo abierto que contiene a c.
• Si , entonces es un mínimo relativo.
• Si , entonces es un máximo relativo.
• Si , este criterio no decide y ha de recurrirseal criterio de la primera derivada.
Ejemplo 1
Hallar los extremos relativos de .
Solución: Para empezar, hallamos los números críticos de f.

Puntos criticos
Usando ,podemos aplicar el criterio de la segunda derivada como sigue.
• Para el punto (-1, -2) tenemos que entonces el punto es un mínimo relativo.
• Para el punto (1, 2) tenemos queentonces el punto es un máximo relativo.
• Para el punto (0, 0) tenemos que entonces el criterio no decide.
Puesto que el criterio de la segunda derivada no decide en el punto (0, 0),utilizamos el de la primera derivada. Como f crece a la izquierda y a la derecha de x = 0, (0, 0) no es máximo ni mínimo relativo. Aqui se puede ver la gráfica del función .