Segunda derivada

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  • Publicado : 9 de noviembre de 2010
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Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es  cóncava  hacia abajo cuando la primera derivada es  creciente en un intervalo abierto (a,b)

 
 

untos de inflexión y número de inflexión. Seaf una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c  y además:
 
a)      f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)
b)      f es una función cóncavahacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.
 
Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.
 
Si lasegunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese  intervalo.
 

Criterios de la segunda derivada para máximos ymínimos relativos
Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:  a).-  Si f´(a)=0   y     f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.
b).- Si f´(a)=0    y    f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.
El Criterio o prueba dela segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basaen el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráficade una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.
Teorema
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada def existe en un intervalo abierto que contiene a c
1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en...
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