principios de optimizaci n

Principios de Optimizaci´
on*
Profesor: Christian Belmar C.
Ayudante de investigaci´on: Mauricio Vargas S.
Universidad de Chile
Facultad de Econom´ıa y Negocios
11 de julio de 2011

´Indice
1. C´
alculo

2

1.1. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

2

1.3. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. Funci´
on Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5. Funciones Homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2. Optimizaci´
on

23

2.1. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3. Optimizaci´
on con restricciones

30

3.1. Resoluci´
on impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.2. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.3. Multiplicadoresde Karush-Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4. Equilibrio

48

5. Bibliograf´ıa

51

* Material

preparado para el curso de Introducci´
on a la Microeconom´ıa. En ese breve documento priman los
conceptos te´
oricos y c´
omo aplicarlos por sobre la teor´ıa y la formulaci´
on matem´
atica. Este apunte se elaboro con el
objeto de apoyar el transito desde Introd. a laMicroeconom´ıa a Microeconom´ıa I, por tanto recopila los principios
fundamentales de la optimizaci´
on, esperamos que sea una ayuda a su proceso de aprendizaje.

1

1.

C´
alculo

La idea de esta secci´
on es recordar algunos conceptos de c´alculo y esbozar otras que no se ven en
los primeros cursos. Para quienes deseen entender los detalles pueden consultar los puntos 1. y 4.
de labibliograf´ıa.

1.1.

Funciones

Intuituivamente (y tambi´en de manera imprecisa), una funci´on y = f (x) se refiere a una “regla”
de trasformaci´
on. Una funci´
on corresponde a una relaci´on entre un conjunto X (dominio) y un
conjunto Y (imagen) que a cada elemento de X, en caso de haber una asociaci´on, asigna un u
´nico
elemento de Y a un elemento de X. Se denota
f :X→Y
x → f (x)
las funciones que nosinteresan, en t´erminos econ´omicos, son las de la forma f : R → R y f : Rn → R
principalmente, es decir las que transforman reales en reales y vectores de componentes reales en
reales. S´
olo en algunos casos (raros) son importantes las funciones f : Rn → Rm que transforman
vectores en otros vectores con distinto n´
umero de componentes.

1.2.

Funciones de una variable

Retomando los conceptosanteriores, para las funciones de una variable o de variable real, se hace
la distinci´
on de funci´
on inyectiva o sobreyectiva. Inyectividad se refiere a que dos elementos del
dominio no tienen la misma imagen. Sobreyectividad se refiere a que todos los elementos del dominio
tienen imagen.
No hay que confundir la inyectividad con la diferencia de funci´on o no funci´on. Para fijar ideas,
si trazamosuna recta vertical al gr´
afico de una funci´on y efectivamente la recta y el gr´afico de la
funci´
on se intersectan en un u
´nico punto, entonces efectivamente se trata de una funci´on. Por otra
parte, si se traza una recta horizontal al gr´afico de una funci´on y esta intersecta al gr´afico de la
funci´
on en dos o m´
as puntos, entonces la aplicaci´on no es inyectiva.
f (x)

f (x)
y0

x

x

x0Figura 1: Un caso que no es funci´on y otro de acuerdo al ejemplo.
Una funci´
on es diferenciable si es continua y a la vez es una funci´on cuyo gr´afico describe una curva
“suave” (los libros en ingl´es se refieren al concepto de smooth functions), lo cual quiere decir que
la funci´
on no presenta saltos ni puntas. Retomaremos esta idea tras dar algunos conceptos.

1.2

Funciones de una...