Principios del calculo diferencial

DIFERENCIALES
Concepto de diferencial
Es el estudio de cómo pueden cambiar las funciones cuando sus variables cambian. El principal objetivo de estudio en el cálculo diferencial es la derivada.
Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto de x.
La inversa de una derivada se llama primitiva, anti derivada o integral indefinida.



En particular,para una función y=f(x) para un valor inicial x0 se tiene la pendiente de la línea recta tangente en las coordenadas [x0,f(x0)], dada por la m=f'(x0). Cuya ecuación de la línea recta tangente queda entonces definida como:

Y – F (X0)=M (X-X0)

1.2 Incrementos y diferenciales, su interpretación geométrica.
Diferenciales
Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en quenecesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercaníasdel punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.
El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro, es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final, por ejemplo; si varía el valor x de x1 a x2 entonces:
x= x2 – x1

DEFINICION Y EJEMPLOSConsideremos la siguiente Grafica en donde aproximamos a la función f por su recta tangente.
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CONCEPTO.
Dada la función y = f(x), consideremos un punto (x, y) que satisfaga la función y = f(x). Incrementos el valor de x en una cantidad muy pequeña (x), ese incremento se llama diferencial de la variable independiente x, y se escribe dx.
Cabría esperar que la diferencial de y (dy)fuese el incremento que experimenta y (y), pero esto no es así. La diferencial de y es dy = f '(x) dx.
Consideremos la función y = x2. El incremento de y, (y) , cuando incrementamos x ( x), será (x + x)2 - x2 = 2x x + ( x)2 en cambio, la diferencial de y (dy) es dy = 2x dx. El cuadrado de color rojo sería el trozo que no consideramos, al considerar y = dy.

A pesar de que no es lo mismola diferencial de y que el incremento de y, cuando el incremento de x es muy pequeño, la diferencial de y se puede considerar una muy buena.

1.2 INCREMENTOS Y DIFERENCIALES, SU INTERPRETACION GEOMETRICA
Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momentodeterminado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc.
Incrementos: cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial.Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo Dx, que se lee “delta x”.
El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro.
Por ejemplo
Si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento Dx = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positivamente en 4unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, Dx = x2 - x1 = 3 - 7 = −4: la variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.
Derivada de una función:
Sea f una función definida en todo número de algún intervalo I, la derivada de f es aquella función, denotada por f ‘, tal que su valor en cualquier número x de I, está dado por:
Se dice que una función es...