Probabilidad Teoremas

Introducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la Estadística en Ingeniería

CAPÍTULO 2

Probabilidad: Definiciones y Teoremas

Contenido del Capítulo 2.1) 2.2) 2.3) 2.4) INTRODUCCIÓN. ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO. EVENTOS. DEFINICIONES DE PROBABILIDAD. 2.4.1) Definición de Frecuencias Relativas. 2.4.2) Definición Clásica. 2.4.3) Definición Subjetiva. AXIOMAS DEPROBABILIDAD. 2.5.1) Cálculo de Probabilidades en un Espacio Muestral Discreto y Finito. PROBABILIDAD CONDICIONAL. PROBABILIDAD TOTAL. TEOREMA DE BAYES. EVENTOS INDEPENDIENTES.

2.5) 2.6) 2.7) 2.8) 2.9)

2.10) EXPERIMENTOS COMPUESTOS. 2.11) PRUEBAS DE BERNOULLI. 2.12) PROBLEMAS PROPUESTOS. APÉNDICE 2.1: RESUMEN DE TEORÍA DE CONJUNTOS. APÉNDICE 2.2: RESUMEN DE TÉCNICAS DE CONTEO.

RafaelDíaz

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2.1)

INTRODUCCIÓN. El objeto de la investigación científica es obtener información suficiente para poder predecir el comportamiento del fenómeno que se está analizando. Esta predicción se realiza por medio de modelos. En la medida en que se tenga mayor y mejor informaciónel modelo tendrá mayor validez. El primer paso de la investigación es conocer la naturaleza del fenómeno, es decir, si el fenómeno es determinista o aleatorio. Siempre y cuando se pueda repetir un experimento bajo las mismas condiciones y se obtenga los mismos resultados se estará en presencia de un fenómeno de naturaleza determinista. Así, serán fenómenos deterministas los siguientes: - El modelomatemático de la ley de Ohm. - Las leyes de Kepler. - Las leyes gravitacionales de Newton. Ahora bien, no siempre es posible repetir un experimento bajo las mismas condiciones y, más aún, no siempre los resultados son los mismos. Esto es lo que define un fenómeno de naturaleza aleatoria. La Figura 2.1 resume la naturaleza de un experimento aleatorio y sus posibles resultados. En la sección 1.2 sepresentaron diversos ejemplos de fenómenos o experimentos aleatorios de índole general, a continuación se presentan algunos fenómenos más específicos en áreas de la ingeniería. Demanda de energía eléctrica de una ciudad. Terremotos. Cambios climáticos. Especificaciones de piezas en una línea de producción. Transmisión de códigos binarios en un sistema de comunicaciones. Cambios térmicos en unreactor químico. Precios de las acciones de una compañía telefónica.

Figura 2.1: Experiencia Aleatoria y sus Protagonistas.

Rafael Díaz

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Formalmente, usaremos la siguiente definición para un experimento aleatorio. Definición 2.1: Un experimento aleatorio es aquel en el cual nose puede predecir el resultado del experimento antes de realizarlo. ♦♦ En este capítulo se desarrollaran las bases para estudiar estos fenómenos o experimentos aleatorios. En los siguientes capítulos se aprovechará más a fondo el aspecto matemático asociado a estos fenómenos para profundizar y generalizar el conocimiento probabilístico mediante la definición del concepto de variable aleatoria.2.2) ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO. Si bien no es posible predecir el resultado de un experimento aleatorio, siempre debe ser posible conocer todos los resultados de ese experimento. Este hecho da pie a la definición de espacio de resultados o espacio muestral del experimento aleatorio. Definición 2.2: El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos losposibles resultados de ese experimento. ♦♦ Notas: - Al espacio muestral se le conocerá con la notación S. Esta es una convención bastante extendida que viene del término en inglés Sample space. - El espacio muestral es un conjunto. Particularmente, el conjunto S es equivalente al conjunto universal U. Dada la importancia que tiene la teoría de conjuntos dentro de la teoría de probabilidades se ha...