Probabilidad y esperanza matemática

PROBABILIDAD DE UN EVENTO

Evento. Es el resultado de un experimento.

Cuando cada evento es seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar.

Evento Simple ( E ). Cada uno de los posibles resultados de un experimento y que no se puede descomponer. En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los
posibles números en la cara del dado es un evento simple.

Cuandolos eventos se representan en un diagrama de Venn se denominan puntos muestrales.

Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, etc., son eventos compuestos si se componen de dos o más eventos simples.
Ejemplos de eventos simples y compuestos

Evento simple: Lanzamiento de un dado
A = { evento que salga un # impar }
A = { 1, 3, 5 }
B = { el número sea ≤ 4 } = { 1, 2, 3, 4 }

Evento Compuesto:Lanzamiento de dos monedas
A = el evento de observar una cara
A = {HH, HT, TH, TT }

Probabilidad Clásica y Probabilidad Subjetiva.

La probabilidad clásica es aquella que se toma de manera objetiva y que puede considerarse de dos maneras: a priori y a posteriori.

Probabilidad a Priori. La probabilidad de un evento A, P(A), es la medida del chance de que ese evento ocurra.

En estecaso los resultados del experimento son
igualmente probables. Este método fue desarrollado por Laplace.
# de maneras que A puede ocurrir
P(A) = -------------------------------------------------
# total de resultados posibles
A (eventos que corresponden a A )
P(A) = -----
S (eventos totales en el espacio muestral S )

Ejemplo. Se lanzan dos monedas al aire, ¿cuál es la
probabilidad de queambas sean cara (H)?
S = { HH, HT, TH, TT } P ( HH ) = _

Ejemplo. Se lanzan dos dados al aire, ¿cuál es la
probabilidad de que la suma sea mayor de 7?
S = { 36 } 1,1 1,2 1,3 1,4 …………… 6,1 6,2…. 6,6
P ( Σ d > 7 ) = 15 / 36

Probabilidad a posteriori. En el caso que los eventos no poseen igual posibilidad de ocurrencia, el problema de asignar las probabilidades ocurre a posteriori.

Elconcepto de probabilidad a posteriori lo desarrolla Richard Von Mises y está basado en el principio siguiente:

Si un experimento se realiza un número grande de veces, N por ejemplo, y sea n el número de veces que ocurre un evento E. Entonces, se observa experimentalmente el hecho de que a medida N aumenta la relación n / M tiende a un valor estable p.
Ese valor p se llama la probabilidad de E y seescribe p(E).

El método a priori se conoce también como de frecuencia relativa y es apropiado cuando se tienen los datos para estimar la proporción del tiempo que ocurrirá el evento en el experimento si el experimento se repite un número grande de veces.

Proceso Para Calcular la Probabilidad de un Evento.

1) Haga una lista de todos los eventos contenidos en el espacio muestral.
2)Asigne la probabilidad que corresponda a cada evento simple.
3) Determine los eventos simples que constituyen el evento de interés.
4) Sume las probabilidades de todos los eventos simples que constituyen el evento de interés.
 
PROBABILIDAD CONDICIONAL

En muchas ocasiones la probabilidad de que ocurra un evento depende de lo que ha ocurrido con otro evento. En este caso tenemos lo que se llamaprobabilidad
condicional.

Definición: La probabilidad condicional de A, dado que ha ocurrido el evento B, se escribe P(A/B). O sea, es la probabilidad de que ocurra un evento A cuando se conoce cierta información relacionada con la ocurrencia de otro evento B.

P(A/B) probabilidad de que ocurra A dado que B ha ocurrido.

P(B/A) probabilidad de que ocurra B dado que A ha ocurrido.

P(A/B)= P(A_B) / P(B) probabilidad condicional de A

P(B/A) = P(A_B) / P(A) probabilidad condicional de B

P(A_B). Es la probabilidad conjunta porque denota la intersección de dos eventos, A y B.
P(A) y P(B) se denominan probabilidades marginales

Eventos Independientes y Dependientes

Se dice que dos eventos son independientes si y solo si, P(A/B) = P(A)

Se dice que dos eventos son...