Problema 10. ley de hooke

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LEY DE HOOKE
La cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa en su extremo libre. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora F opuesta a ladirección de la erogación.

F  ks

equilibrio mg  ks  0

SEGUNDA LEY DE NEWTON
Después que se une una masa m a un resorte, este alarga el resorte por una cantidad s y logra una posición deequilibrio en el cual W se equilibra mediante la fuerza restauradora rs.

d x m 2  k ( s  x  mg )    kx  mg  ks  ks dt 2 d x 2 w x0 2 dt

2

10.Una masa que pesa 10 libras alarga unresorte ¼ de pie. Esta masa se retira y se coloca una de 1.6 slugs, que se libera desde un punto situado a ⅓ de pie arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 5/4 pies/s.Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6). ¿En que tiempos la masa logra un desplazamiento debajo de la posición de equilibrio numéricamente igual a ½ de la amplitud?

Ecuación (6)x(t )  Asen(wt   )

Procedimiento:
F=10 libras S=¼ pie. K=? m=1.6 slugs

F F  ks Despejando k  k s 10 k  40 libras / pie
1 4

Ecuación de Movimiento Libre

d 2x m  k x 2 dt

(1)Al dividir la ecuación (1) entre la masa se obtiene la Ecuación diferencial de segundo orden:

d 2x kx  0 2 dt m

O bien

d 2x  w2 x  0 dt 2

Sustituyendo:

d 2x 40 x  0 2 dt 1.6Solución general:

=

d 2x  (5) 2 x  0 dt 2

x(t )  C1 cos 5t  C2 sen5t
Con :

x(0)   1 3

x ' ( 0) 

5 4

 1  C1 cos 5t  C2 sen5t 3

 1  C1 3
5 4

 5 sen5t  5C2cos 5t 3
1 4

 C2
Resultado:

x(t )   1 cos 5t  1 sen5t 3 4

Ecuación (6)

x(t )  Asen(wt   )
A  C1  C2 
2 2
1

5 12

  tan1 (C C )  0.927
2

x (t ) 

5 12

sen(5t  0.927 )

¿En que tiempos la masa logra un desplazamiento debajo de la posición de equilibrio numéricamente igual a ½ de la amplitud?

wt    n 5t  0.972 


6

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