Problema algebra lineal

5.4.9 Tres compañías A, B, C introducen nuevas marcas de detergente en el mercado. En un principio los porcentajes de cada una en el mercado eran respectivamente40%, 20% y 40%. Cada año la compañía A conserva el 85% de sus clientes, pasando el 5% a la B y el 10% a la C. la compañía B conserva el 75% y pierde el 15% a favor de Ay el 10% a favor de C. Por su parte, la compañía C conserva el 90% y pierde el 5% a favor de A y el 5% a favor de B. Si inicialmente la población de compradores eraM:
a) encuentre la distribución de compradores en el k-énesimo año. Encuentre también la probabilidad, de que en este año, un cliente elegido al azar, le compredetergente a la compañía B.
c) A largo plazo, cual será la probabilidad de que un cliente, elegido al azar, le compre a la empresa A? y a la empresa C?Inicialmente:
A es el 40% de la población inicial.(2/5)
B es el 40% de la población inicial.(1/5)
A es el 40% de la población inicial.(2/5)

Sea Xk= tamaño de la clientelade A en el año K
Sea Yk= tamaño de la clientela de B en el año K
Sea Zk= tamaño de la clientela de C en el año K

Ecuaciones:













Para sabersi A es diagonalizable se sacan los valores propios:














Para los vectores propios






Luego de eliminación gaussiana se obtiene:Luego de eliminación gaussiana se obtiene:














Luego de eliminación gaussiana se obtiene:









Porlo tanto A es diagonalizable

), donde c1,c2,c3 es la solución del sistema:




Luego de la eliminación gaussiana:



Solución regresiva: