Problema De Kepler

El Problema De Kepler
March 3, 2013
Abstract
En este trabajo se hablar´ acerca del problema de Kepler, desde
a
cuatro enfonques, en principio diferentes pero que llegan a las mismas
concluciones; dichos enfoques son el newtoniano, lagrangano, hamiltoniano y Hamilton-Jacobi.

1

Introducci´n
o

Cuando el astr´nomo danes Tycho Brahe muri´ en 1601, sus asistente Joo
o
hannes Kepler(1571-1630) hered´ grandes masas de datos en bruto de las
o
posiciones de los planetas a diferentes tiempos. Kepler trabaj´ incesanteo
mente en este material por 20 a˜ os , y al final tuvo ´xito en obtener sus tres
n
e
leyes simples de moviento planetario; las cuales fueron el climax de cientos
de a˜ os de astronomia puramente observacional.1
n
La ley de atracci´n del inverso del cuadradosubraya un fen´meno tan
o
o
natural que toda persona educada en la ciencia debe saber sobre sus concecuencias, las ´rbitas de los planetas alrededor del sol, el movimiento de
o
la luna y satelites artificiales sobre la tierra, los caminos descritos por las
part´
ıculas en la f´
ısica at´mica, etc.
o
Para problemas que involucran a particulas en movimiento en la que la
fuerza que actuasobre ella siempre esta dirigida a lo largo de la linea de la
1

Simmons George F, Diferential Equations With Applications And Historical Notes,
Segunda Edicion, McGraw Hill, P´g. 117
a

1

particula a un punto fijo, usualmente es f´cil resolver la velocidad, la acea
leracion, y fuerza en sus componentes sobre y perpendiculares a esta linea.
Sin embargo, ponemos a una particula M fija en elorigen de un sistema de
coordenadas polares y expresaremos el vector radio del origen a la part´
ıcula
m en la forma:

r = r ur

(1)

donde ur es el vector unitario en la direcci´n de r , podemos escribirlo
o
como:
Ur = ˆ (θ) + ˆ (θ)
icos
jsen

(2)

y por tanto el vector unitario correspondiente Uθ , perpendicular a Ur en
la direcci´n de incremento de θ, esta dada por:
o
uθ =−ˆ (θ) + ˆ (θ)
isen
jcos

(3)

las relaciones simples:
du r
du θ
= uθ y
= −ur
dθ
dθ
obtenidas de diferenciar (2) y (3), son esenciales para el c´lculo de los
a
vectores v y a , velocidad y aceleraci´n respectivamente. Un c´lculo directo
o
a
de (1) nos lleva a:

v=

dr
dt

= r dur + ur dr
dt
dt
= r dur dθ + ur dr
dt dt
dt
=

r dθ uθ
dt

+

(4)

dr
u
dt r

ya=

dv
2θ
= r d 2 + 2 dr dθ uθ
dt
dt dt
dt
2r
2
= d 2 − r dθ
ur
dt
dt
2

(5)

Si la fuerza F que act´ a sobre m se escribe de la forma
u
F = Fθ uθ + Fr ur

(6)

entonces de (5) y (6) y de la segunda ley de movimiento de newton ma =
F , obtenemos que:
d2 θ
dr dθ
m r 2 +2
dt
dt dt

= Fθ

d2 r
ym
−r
dt2

dθ
dt

2

= Fr

(7)

Estas ecuacionesdiferenciales gobiernan el movimiento de la p´rticula
a
m, y son v´lidas sin importar la naturaleza de la fuerza. Nuestra tarea
a
siguiente es extraer informaci´n de ellas al hacer c´modas supociciones sobre
o
o
la direcci´n y magnitud de F .
o

2

Formalismo Newtoniano

2.1

Segunda ley y Fuerzas Centrales

F es llamada una fuerza central si no tiene componente perpendicular a r ,
locual es Fθ = 0. Bajo esta supocici´n la primera de las ecuaciones (7) es:
o
d2 θ
dr dθ
+2
=0
2
dt
dt dt
al multiplicar por r obtenemos:
r

r2

d2 θ
dr dθ
+ 2r
=0
2
dt
dt dt

o
dθ
d
r2
dt
dt

=0

de donde podemos ver que:
dθ
=h
(8)
dt
para alguna constante h. Suponemos que h es positivo, lo cual significa
que m se esta moviendo contrario a las manecillas delreloj. Si A = A(t) es
r2

3

el area barrida por r desde alguna posici´n fija de referencia, de tal forma
´
o
2
que dA = r dθ/2, entonces (8) implica que:
dA =

1 2 dθ
r
2
dt

1
dt = hdt
2

(9)

Al integrar (9) de t1 a t2 obtenemos:
1
A(t2 ) − A(t1 ) = h(t2 − t1 )
(10)
2
Esto nos lleva a la segunda ley de Kepler : el vector radio r del sol a un
planeta barre ´reas...