Problemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables, autor :Shirley

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Problemario de
C´lculo Diferencial de Varias Variables
a

Mar´ Jos´ Arroyo
ıa
e
Shirley Bromberg
Patricia Saavedra

Departamento de Matem´ticas
a
Universidad Aut´noma Metropolitana-Iztapalapa
o

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´
INDICE
1 Geometr´ Vectorial
ıa
1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ejercicios y problemas de geometr´ vectorial
ıa
1.3 Ejercicios complementarios. . . . . . . . . .
1.4 Respuestas de algunos problemas . . . . . . .
2 Funciones vectoriales
2.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ejercicios y problemas . . . . . .
2.3 Ejercicios complementarios . . .
2.4 Respuestas de algunos problemas

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2
3
12
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17
17
17
23
25

3 Gr´ficas, curvas y superficies de nivel
a
29
3.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Ejercicios y problemas . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Respuestas de algunos problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 L´
ımites y continuidad
40
4.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Respuestas de algunos problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Derivabilidad yaplicaciones
46
5.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Respuestas de algunos problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6 M´ximos y m´
a
ınimos
65
6.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 65
i

´
INDICE

ii
6.3
6.4

Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Respuestas de algunos problemas . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliograf´
ıa

71
73
76

Presentaci´n
o
El prop´sito de este problemario es poner a disposici´n de los profesores y
o
o
alumnos de la uea “C´lculo Diferencial de Varias Variables” una colecci´n de
a
oproblemas, unos rutinarios y otros de car´cter m´s amplio, que las autoras
a
a
han recolectado a lo largo de varios a˜os de impartir el curso. Concentra
n
problemas tipo que aparecen en varios libros de texto, sin embargo, un
estudiante puede encontrar la teor´ necesaria para resolverlos con ayuda de
ıa
un solo libro.
El material incluye problemas con diverso grado de dificultad,presentados en el orden que consideramos adecuado para impartir los temas del plan
de estudios.
Como todo libro de esta naturaleza, no pretende sustituir al profesor ni
a las sesiones de taller y ejercicios, donde la discusi´n sobre algunos de los
o
problemas enriquece y favorece el aprendizaje.
A pesar de que el proceso de ense˜anza aprendizaje de esta uea puede
n
apoyarse en el uso de las nuevastecnolog´ algunos problemas muestran
ıas,
que, sin un razonamiento guiado por la teor´ puede llegarse a respuestas
ıa,
incorrectas.
Se han inclu´ adem´s las respuestas y las soluciones de algunos proıdo
a
blemas.
Mar´ Jos´ Arroyo Paniagua
ıa
e
Shirley Bromberg
Patricia Saavedra Barrera

1

Cap´
ıtulo 1

Introducci´n a la Geometr´
o
ıa
Vectorial
1.1

Objetivos

Elestudiante ser´ capaz de:
a
• ubicar un vector en el plano cartesiano, manejar las operaciones de
suma de un n´mero finito de vectores y multiplicaci´n por escalares;
u
o
en particular, reconocer y construir combinaciones lineales en el plano
y en el espacio;
• conocer el concepto de magnitud de un vector como la distancia entre
sus extremos y utilizarlo para construir un vector con magnitud...