Problemario
Páginas: 11 (2580 palabras)
Publicado: 24 de mayo de 2010
La siguiente operación es una resta en el sistema de base 6
C A 56 − B CA6 1 5 26
¿Cuál es el valor de la expresión
A+ B +C?
Solución : Es claro que A = 3 , en consecuencia el valor de C debe superar al valor de A , es decir, en el minuendo el dígito A le debe pedir una unidad prestada al dígito C , por el resultado de la sustracción nos damos cuenta que C = 4 (pues cada unidad prestadase convierte en seis unidades), así resulta que B = 2. Por lo tanto A + B + C = 9. 2.- ¿Cuánto suman todos los dígitos del resultado de la operación 102009 − 2009 ? Solución:
Tenemos que
2009 ceros observamos que sucede lo siguiente:
10 2009 = 10 0L 0 0 0 0 0 0 14 244 4 3
, en consecuencia al hacer la resta
10 0L 0 0 0 0 0 0 − 2009 9 9L9 97 9 91
En el resultado tenemos
2009dígitos, por lo que la suma de estos dígitos es 9 × 2007 + 7 + 1 = 18071
24
8
3.- Considere el número Solución :
16 8
16
4
, entonces el valor de dicho número es :
2 4 = 2( 2
8
2 8
)
= 22
y
168 = 16( 2
4
3 4
)
= 162 = (2 4 ) 2 = 2 2
12 12
14
24
Por lo que
8
16
8
4
=
22 2
16
2
14
= 22
16
− 214
= 22
14
(4−1)
= 23( 2
14
)
= 2 49152
4.- En la siguiente figura, si el área del cuadrado es 6 cm 2 , ¿cuánto mide el lado AB ?
Solución :
Como área
Area( DEFB) = 6 ⇒ DB = 6
1 6 = ⇒h = 2 6 h 2 y por tanto
Como Sen 30° =
Por lo que
BC = h 2 − 6 = 24 − 6 = 18
AB = ( 18 ) 2 + ( 18 ) 2 = 36 = 6 cm
5.- Considere una pareja de números naturales tales que seis veces uno de ellosmenos el otro, es igual a su producto. ¿Cuántas parejas de números enteros cumplen con esta condición? Solución :
Sean x, y dichos números, entonces
6 x − y = xy 6 x − xy = y De donde x =
y , siendo x, y ∈ N 6−x
Como x es positivo, entonces 6 − y > 0 ⇒ 1 ≤ y < 6 ⇒ 1 ≤ y ≤ 5 1 Si y = 1, ⇒ x = No es solución 5
Si y = 2, ⇒ x = Si y = 3, ⇒ x = 2 No es solución 4 3 = 1 Si es solución 3 4= 2 Si es solución 2 5 = 5 Si es solución 1
Si y = 4, ⇒ x =
Si y = 5, ⇒ x =
Respuesta : 3 parejas de números
6.- Si x, y, z son valores reales positivos tales que satisfacen la ecuación
y+z x x2 + y2 − z2 x −y −z = − + 2 yz . ¿Cuánto vale ? x y+z 2 yx Solución : a + b −1 a a + b −1 b Observemos que −1 = ,entonces si −1 = concluimos que a 2 = b 2 a +b b a +b a
2 2 2
x + ( y + z) −1 y + z ,se sigue de la observación Como la ecuación planteada equivale a −1 = x x + ( y + z) inicial que x 2 = ( y + z ) 2 ,entonces x = y + z . De aquí
x2 + y2 − z2 =2 2 yx
7.- Definamos la sucesión a1 = 1, a n = a n −1 + n , para n ≥ 2 . ¿Cuál es el máximo valor de
2 n, 20 ≤ n ≤ 100 ,que cumple a n +1 a n − a n − a n +1 a n −1 − 2a n = 0 ?
Solución :
Tenemos que a n = 1 + 2 + 3 +... + n ,por lo que a n =
an =
(a n − a n −1 )(a n +1 − a n ) y esta ecuación equivale a 2 2 a n +1 a n − a n − a n +1 a n −1 − 2a n = 0 ,por lo q el máximo valor es n = 100
n(n + 1) y n = a n − a n −1 ,entonces 2
8.- ¿Cuánto suman los últimos 2010 dígitos del número 2009 ( 2011 + 2010 2 + 2010 3 + 2010 4 + ... + 2010 2009 ) Solución : La suma del paréntesis es una progresión geométricay es igual a 10 2010 2012010 − 1 ,entonces la suma pedida es 18081 9.- ¿Cuántas parejas de números primos p, q son tales que tales que pq + 1 es una cuarta potencia perfecta? Solución :
Si pq + 1 = n 4 ,entonces pq = (n − 1)(n + 1)(n 2 + 1) ,por lo que n − 1 = 1,de lo cual n = 2 y p = 3, q = 5 .Entonces los únicos primos deseados son 3,5
10.- Se tiene un arreglo de 3 casillas como el que seilustra a continuación :
1
2
3
Se lanza un dado honesto y el número que resulte se coloca en la casilla uno. Se lanza de nuevo y el número que aparezca se coloca en la casilla dos. Se lanza por tercera vez y el resultado se coloca en la casilla tres. ¿Cuál es la probabilidad de que los números en las casillas queden ordenados, rigurosamente, en forma ascendente o descendente?...
C A 56 − B CA6 1 5 26
¿Cuál es el valor de la expresión
A+ B +C?
Solución : Es claro que A = 3 , en consecuencia el valor de C debe superar al valor de A , es decir, en el minuendo el dígito A le debe pedir una unidad prestada al dígito C , por el resultado de la sustracción nos damos cuenta que C = 4 (pues cada unidad prestadase convierte en seis unidades), así resulta que B = 2. Por lo tanto A + B + C = 9. 2.- ¿Cuánto suman todos los dígitos del resultado de la operación 102009 − 2009 ? Solución:
Tenemos que
2009 ceros observamos que sucede lo siguiente:
10 2009 = 10 0L 0 0 0 0 0 0 14 244 4 3
, en consecuencia al hacer la resta
10 0L 0 0 0 0 0 0 − 2009 9 9L9 97 9 91
En el resultado tenemos
2009dígitos, por lo que la suma de estos dígitos es 9 × 2007 + 7 + 1 = 18071
24
8
3.- Considere el número Solución :
16 8
16
4
, entonces el valor de dicho número es :
2 4 = 2( 2
8
2 8
)
= 22
y
168 = 16( 2
4
3 4
)
= 162 = (2 4 ) 2 = 2 2
12 12
14
24
Por lo que
8
16
8
4
=
22 2
16
2
14
= 22
16
− 214
= 22
14
(4−1)
= 23( 2
14
)
= 2 49152
4.- En la siguiente figura, si el área del cuadrado es 6 cm 2 , ¿cuánto mide el lado AB ?
Solución :
Como área
Area( DEFB) = 6 ⇒ DB = 6
1 6 = ⇒h = 2 6 h 2 y por tanto
Como Sen 30° =
Por lo que
BC = h 2 − 6 = 24 − 6 = 18
AB = ( 18 ) 2 + ( 18 ) 2 = 36 = 6 cm
5.- Considere una pareja de números naturales tales que seis veces uno de ellosmenos el otro, es igual a su producto. ¿Cuántas parejas de números enteros cumplen con esta condición? Solución :
Sean x, y dichos números, entonces
6 x − y = xy 6 x − xy = y De donde x =
y , siendo x, y ∈ N 6−x
Como x es positivo, entonces 6 − y > 0 ⇒ 1 ≤ y < 6 ⇒ 1 ≤ y ≤ 5 1 Si y = 1, ⇒ x = No es solución 5
Si y = 2, ⇒ x = Si y = 3, ⇒ x = 2 No es solución 4 3 = 1 Si es solución 3 4= 2 Si es solución 2 5 = 5 Si es solución 1
Si y = 4, ⇒ x =
Si y = 5, ⇒ x =
Respuesta : 3 parejas de números
6.- Si x, y, z son valores reales positivos tales que satisfacen la ecuación
y+z x x2 + y2 − z2 x −y −z = − + 2 yz . ¿Cuánto vale ? x y+z 2 yx Solución : a + b −1 a a + b −1 b Observemos que −1 = ,entonces si −1 = concluimos que a 2 = b 2 a +b b a +b a
2 2 2
x + ( y + z) −1 y + z ,se sigue de la observación Como la ecuación planteada equivale a −1 = x x + ( y + z) inicial que x 2 = ( y + z ) 2 ,entonces x = y + z . De aquí
x2 + y2 − z2 =2 2 yx
7.- Definamos la sucesión a1 = 1, a n = a n −1 + n , para n ≥ 2 . ¿Cuál es el máximo valor de
2 n, 20 ≤ n ≤ 100 ,que cumple a n +1 a n − a n − a n +1 a n −1 − 2a n = 0 ?
Solución :
Tenemos que a n = 1 + 2 + 3 +... + n ,por lo que a n =
an =
(a n − a n −1 )(a n +1 − a n ) y esta ecuación equivale a 2 2 a n +1 a n − a n − a n +1 a n −1 − 2a n = 0 ,por lo q el máximo valor es n = 100
n(n + 1) y n = a n − a n −1 ,entonces 2
8.- ¿Cuánto suman los últimos 2010 dígitos del número 2009 ( 2011 + 2010 2 + 2010 3 + 2010 4 + ... + 2010 2009 ) Solución : La suma del paréntesis es una progresión geométricay es igual a 10 2010 2012010 − 1 ,entonces la suma pedida es 18081 9.- ¿Cuántas parejas de números primos p, q son tales que tales que pq + 1 es una cuarta potencia perfecta? Solución :
Si pq + 1 = n 4 ,entonces pq = (n − 1)(n + 1)(n 2 + 1) ,por lo que n − 1 = 1,de lo cual n = 2 y p = 3, q = 5 .Entonces los únicos primos deseados son 3,5
10.- Se tiene un arreglo de 3 casillas como el que seilustra a continuación :
1
2
3
Se lanza un dado honesto y el número que resulte se coloca en la casilla uno. Se lanza de nuevo y el número que aparezca se coloca en la casilla dos. Se lanza por tercera vez y el resultado se coloca en la casilla tres. ¿Cuál es la probabilidad de que los números en las casillas queden ordenados, rigurosamente, en forma ascendente o descendente?...
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