Problemas de fisica

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PROBLEMAS RESUELTOS
ECUACIONES DEFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
1. Resolver Y´´ + Y = t, Y (0) = -2.
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial y utilizando las condiciones dadas, tendremos

l Y´´ + l Y = l t, s2y – sY (0) – Y´(0) + y = 1s2
s2y – s +2 + y = 1s2

Entonces y = l Y = 1s2 S2+1 + s-2s2+1
= 1s2 - 1s2+1 +ss2+1 - 2s2+1
=1s2 + ss2+1 - 3s2+1
y Y = 1s2 + ss2+1 -3s2 +1 = t + cos t – 3 sen t

comprobación: y = t + cos t – 3 sen t, Y´= 1 – sen gt – 3 cos t, Y´´ = - cos t 3 sen t. Entonces Y´´ + Y = t. Y (0) = 1, Y´(0) = - 2, luego la función encontrada es la solución requerida.
Existe otro método, usando la integral de la convolucion, en el problema 7; en tal caso se hace a =1, F (t)= t.




2. Resolver Y´´ - 3Y´+ 2Y = 4e2t, Y(0) = - 3, Y´(0) = 5.

Tenemos que l Y´´ - 3l Y´ + 2l Y = 4l e2t
s2y-s Y0- Y´(0) - 3 sy-Y (0) + 2y = 4s-2
s2y+3s - 5 - 3 sy+3 + 2y = 4s-2
(s2 – 3s+ 2) y + 3s – 14 = 4s-2

Y = 4 (s2 – 3s+ 2)(s-2) + 14-3ss2 – 3s+ 2
= -3s2 +20 s-24s-1(s-2)2
= -7s-1 + 4s-2 + 4(s-2)2

de manera que Y =l-1 -7s-1 + 4s-2 +4(s-2)2 = 7et + ae2t + 4te2t
se puede comprobar que esta es la solución.

3. Resolver Y´´ + 2Y´ + 5Y = e –t sen t, Y (0) = 0, Y´(0) = 1.

Tenemos que l Y´´ + 2l Y + 5 l y = l e-tsen t
s2y-s Y 0- Y´(0) + 2 sy-Y 0 + 5y = 1s+12+1 = 1s2+2s+2
s2y-s 0- 1 + 2 sy-0 + 5y = 1s2+2s+2
(s2 + 2s + 5)y – 1 = 1s2+2s+2

y = 1s2+2s+5 +1(s2+2s+2)(s2+2s+5)
= s2+2s+3(s2+2s+2)(s2+2s+5)
y = l -1 = 82+2s+3(s2+2s+2)(s2+2s+5) = 13 e –t (sen t + sen 2t)




4. Resolver Y´´´ - 3Y´´ + 3Y´ - Y = t2 et , Y(0) = 1, Y´(0) = 0, Y´´(0) = -2.

Tenemos que l Y´´´ - 3l Y´´ + 3 l y´ - l y = l t2et

s3y-s2 y0- s Y´0- Y´´(0) - 3 s2y-s y0- Y´0 + 3 sy-y0 - y = 2(s-1)3
Así,(s3y-3s2+ 3s-1)y – s2 + 3s – 1 = 2(s-1)3
y = s2-3s + 1s-13 + 2(s-1)6
= s2-2s + 1-ss-13 + 2(s-1)6
= s2-12- (s- 1)-1s-13 + 2(s-1)6

=1s-1 – 1(s-1)2 - 1(s-1)3 +1(s-1)6

Finalmente Y = et - tet - t2et2 + t5et60



5. Hallar la solución general de la ecuación diferencial del problema 4.
En este caso las condiciones iníciales son arbitrarias.
Si suponemos que Y (0) = A, Y´(0) = B, Y´´(0) = C, encontramos, como en el problema 4 , que
(s3y – As2 – Bs - C) – 3 (s2y – As - B) + 3 (sy – A ) – y = 2(s-1)3
o sea que
y = As2+B-3As+3A-3B+C(s-1)3 + 2(s-1)6

Como A, B y C son arbitrarias, también lo es el polinomio del numerador del miembro derecho de la igualdad.
De esta manera podemos escribir
y= c1(s-1)3+ c2(s-1)2+ c3s-1+ 2(s-1)6

y transponer términos para encontrar la solución general requerida

y= c1t22et+ c2tet+ c3et+ t5et60

= c1t2+ c5tet+ c6et+t5et60

Donde las ck son constantes arbitrarias.
Senotará que una vez obtenida la solución general, es más fácil encontrar la solución particular ya que nos evitamos la dificultad de determinar las constantes del desarrollo en fracciones parciales.

6. Resolver Y''+ 9Y=cos2t si Y0= 1, Yπ2=-1.

Como Y'0 es desconocida, sea Y'0= c. Entonces

LY''+ 9LY= L{cos2t}
s2y-sYo- Y'0+ 9y= ss2+4
s2+9y-s-c= ss2+4
y= s+cs2+9+ ss2+9(s2+4)
= ss2+9+cs2+9+ s5(s2+4)- s5(s2+9)
= 45ss2+9+ cs2+9+ s5(s2+4)
De manera que Y= 45cos3t+ c3sen3t+ 15cos2t

Para determinar c, nótese que Yπ2= -1 de modo que -1= -c3-15o sea c=12/5. Entonces
Y= 45cos3t+ 45sen3t+ 15cos2t

7. Resolver Y''+ a2Y=Ft, Y0= 1, Y'0= -2.

Tenemos que LY''+ a2LY= LFt= f(s)

s2y-sY0- Y'0+ a2y=f(s)

s2y-s+2+ a2y=f(s)
De manera que...
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