PROBLEMAS DE GEOMETRIA

PROBLEMAS
DE
GEOMETRÍA

 

Ubaldo Usunáriz Balanzategui
Ignacio Usunáriz Sala 

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ÍNDICE

PRÓLOGO

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GEOMETRÍA DEL PLANO

Sección A Lugares geométricos (67 problemas)

7

Sección B

Rectas, ángulos, triángulos (103 problemas)

37

Sección C

Construcción de triángulos (60 problemas)

79

Sección D Cuadriláteros. Otros polígonos (68 problemas)

101

Sección E

Circunferencia (101problemas)

129

Sección F

Cónicas (101 problemas)

171

Sección G Áreas (23 problemas)

201

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Sección H Lugares geométricos (24 problemas)

213

Sección I

Planos. Diedros (41 problemas)

221

Sección J

Cuerpos (36 problemas)

233

Sección K Áreas y volúmenes (77 problemas)

249

Sección L

283

Geometría descriptiva (43 problemas)

ANEXO

Anexo

Problemas sin resolver (25problemas)

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PRÓLOGO

Este libro, Problemas de Geometría, junto con otros dos, Problemas de Matemáticas y
Problemas de Geometría Analítica y Diferencial, están dedicados a la presentación y resolución
de problemas que se planteaban hace unas décadas, en la preparación para ingreso en las
carreras de ingeniería técnica superior.
Incluye 744 problemas que se presentan en dos grandes grupos:· Geometría del plano, con 523 problemas referentes a lugares geométricos, rectas, ángulos,
triángulos y su construcción, cuadriláteros y otros polígonos, circunferencia, cónicas y áreas.
· Geometría del espacio, con 221 problemas referentes a lugares geométricos, planos, diedros,
cuerpos, áreas, volúmenes y geometría descriptiva.
Además se incluyen en el anexo, 25 problemas para su resolución porlos lectores.
Esta segunda edición de Problemas de Geometría tiene por objeto su puesta a disposición de la
Escuela de Ingenieros de Minas de la Universidad Politécnica de Madrid.

Madrid, verano 2012

 
 

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Problemas de Geometría del Plano

Sección A - LUGARES GEOMÉTRICOS

A 1- Enunciar los lugares geométricos elementales.

Solución: La línea recta es el lugar geométrico de los puntosque siguen una misma dirección.
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto interior
llamado centro.
La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos.
El lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a dos rectas fijas están en una relación dada,
es un sistema de dos rectas que pasan por el punto de intersección de lasrectas dadas; en el
caso en que dicha relación sea la unidad, el lugar geométrico es el conjunto de las dos
bisectrices de los ángulos formados por las dos rectas dadas.
El lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a dos puntos fijos están en una relación
dada, es una circunferencia cuyo centro está sobre la recta definida por dichos puntos y que la
corta en dos puntos cuya relación dedistancias a los puntos dados es la dada.
El lugar geométrico de los puntos para los que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a
dos puntos fijos dados es constante, es una recta perpendicular a la recta que une dichos dos
puntos.
El lugar geométrico de los puntos para los que la suma de los cuadrados de sus distancias a dos
puntos fijos dados es constante, es una circunferencia de centro elpunto medio de dichos dos
puntos.
El lugar geométrico de los puntos desde los que se ve un segmento dado bajo un ángulo
constante, se compone de dos arcos de circunferencia (arcos capaces), que pasan por los
extremos de dicho segmento.
A 2- Hallar el lugar geométrico de los centros de los paralelogramos cuya base es fija en magnitud

y posición, y cuya altura es constante en magnitud.
Solución:
C
Om
A

D

H

E

B

n

La base AB es fija y la altura CH  h es constante. El punto O, centro del paralelogramo, está
en la intersección de las dos diagonales, esto es, en su punto medio. Por tanto la distancia OE
será siempre igual a h . El lugar pedido está formado por dos rectas m y n, paralelas a AB, a la
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distancia h de esta, situadas a uno y otro lado de AB.
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7

A 3- Hallar el lugar...