Problemas De Movimiento

´ MATEMATICAS I. ´ ´ ´ GRAD EN ING. ELECTRONICA, ROBOTICA Y MECATRONICA.

Relaci´n de problemas. Tema 7: Espacio af´ euclideo. Movimientos. o ın C´nicas y cu´dricas o a
1. En el espacio af´ R3 seconsideran los sistemas de referencia R = {O; B = {u1 , u2 , u3}} y ın ′ ′ ′ R = {O ; B = {u′1 , u′2 , u′3 }} donde se sabe que las coordenadas de O ′ respecto de R son (1, 2, 3) y u′1 = (−1, 1, 1)Bu′2 = (1, −2, 1)B u′3 = (1, 1, −3)B Calcula (a) ecuaciones que permiten pasar de R′ a R; (b) ecuaciones que permiten pasar de R a R′ ; (d) los puntos de R3 que tienen las mismas coordenadas respecto delos dos sistemas de referencia 2. Para las siguientes aplicaciones afines, determina cu´les son movimientos y clasifica los que a lo sean dando la descripci´n detallada de cada uno de ellos: o (a) en R2, las aplicaciones afines dadas por las matrices       1 1 1 0 0 0 0 0 0  −1 0 1   2/5 1/5 2/5   2/5 3/5 4/5  2 −1 0 −1/5 2/5 4/5 −4/5 4/5 −3/5 (b) en R2 , la aplicaci´n af´ dada por f (x,y) = (1 + 1 x − o ın 2 (d) en R3 , las aplicaciones afines dadas por las matrices    0 0 0 0 0 1 1 0  2 −1 0   1 0 0   0 1   1   2 0 −1 0 0 0 −1 −1 0 1 0 −1 1 0 0  1  2   0 1 0 0 1 0 01 0 0  0 0   0  1   0 0 0 1  1 −1 0 0     0 0 0 1  1 0 1 0
√ 3 y, −1 2

(c) las coordenadas respecto a R′ del punto p = (1, −1, 0)R ;



 1 0 0  3 −3/5 −4/5  1 −4/5 3/5 + 1 y) 2+

√

3 x 2

1 1 (c) en R2 , la aplicaci´n af´ dada por f (0, 0) = ( 4 , −2 ); f (1, 0) = ( 5 , 2 ); f (0, 1) = ( 8 , 5 ) o ın 5 5 5 5

    



1  2   3 0

 0 0 0 0 0 1  0 −1 0  1 0 0

 0 0 0 1  1 −1 0 0     0 0 1 1  1 0 1 0

3. Calcula la ecuaci´n reducida de las siguientes c´nicas y clasificarlas. Calcula tambi´n los o o e elementos notables (centro,ejes, v´rtice, etc) en el sistema de referencia utilizado: e (a) 9x2 − 4xy + 6y 2 − 10x − 29y − 5 = 0 (c) 2x2 − 4xy − y 2 − 4x − 8y + 14 = 0

(b) 3x2 − 8xy − 12y 2 − 30x − 64 = 0

(d) x2 − 6xy −...